Nghịch lý Zeno

[Hai Trieu Kr]

"Trong một cuộc chạy đua, người chạy nhanh nhất không bao giờ có thể bắt kịp được kẻ chậm nhất. Kể từ khi xuất phát, người đuổi theo trước hết phải đến được điểm mà kẻ bị đuổi bắt đầu chạy. Do đó, kẻ chạy chậm hơn luôn dẫn đầu." Bạn có biết tới câu chuyện nổi tiếng về Achilles và con rùa của Zeno hay không ? Khi mà Achilles mỗi lần bắt kịp con rùa thì con rùa sẽ nhích thêm được 1 ít, vì vậy mà Achilles không bao giờ bắt kịp được con rùa. Zeno là ai ? Nhà toán học ? Bài viết này, sẽ giới thiệu cho bạn về Zeno và 1 câu chuyện khác của Zeno, hãy xem có điều gì thú vị nhé !

1. Zeno là ai ?

​

Chân dung Zeno (Nguồn: Internet)

Zeno sinh vào khoảng năm 490 trước Công nguyên tại thành phố bang Elea, nay là Velia, trên bờ biển phía tây của miền nam nước Ý; và ông mất vào khoảng năm 430 TCN Ông là bạn và là học trò của Parmenides, người lớn hơn hai mươi lăm tuổi và cũng đến từ Elea. Ông không phải là một nhà toán học.

2. Nghịch lý Zeno

Theo truyền thuyết Hy Lạp cổ đại, người nhanh nhất thế giới là nữ anh hùng Atalanta . Mặc dù cô ấy là một thợ săn nổi tiếng, người thậm chí đã tham gia cùng Jason và Argonauts để tìm kiếm bộ lông cừu vàng, cô ấy nổi tiếng với tốc độ của mình, vì không ai có thể đánh bại cô ấy trong một bước chân công bằng. Nhưng cô ấy cũng là nguồn cảm hứng cho nghịch lý đầu tiên trong số nhiều nghịch lý tương tự do nhà triết học cổ đại Zeno ở Elea đưa ra: về cách chuyển động, về mặt logic, không nên là điều không thể.

Để đi từ điểm xuất phát đến đích, Atalanta trước tiên phải đi một nửa tổng quãng đường. Để đi được quãng đường còn lại, trước hết cô ấy phải đi được một nửa quãng đường còn lại. Không cần biết khoảng cách còn lại nhỏ đến đâu, cô ấy phải đi một nửa quãng đường đó, rồi một nửa quãng đường còn lại , v.v. Với vô số bước cần thiết để đến đó, rõ ràng cô ấy không bao giờ có thể hoàn thành cuộc hành trình. Và do đó, Zeno tuyên bố, chuyển động là không thể: Nghịch lý của Zeno . Đây là cách giải quyết không trực quan.

"Giải pháp" lâu đời nhất cho nghịch lý được thực hiện từ góc độ toán học thuần túy. Tuyên bố thừa nhận rằng, chắc chắn, có thể có vô số bước nhảy mà bạn cần thực hiện, nhưng mỗi bước nhảy mới ngày càng nhỏ hơn so với bước trước đó. Do đó, miễn là bạn có thể chứng minh rằng tổng của mỗi bước nhảy mà bạn cần thực hiện cộng lại thành một giá trị hữu hạn, thì bạn chia nó thành bao nhiêu phần không quan trọng.

Ví dụ: nếu tổng hành trình được xác định là 1 đơn vị (bất kể đơn vị đó là gì), thì bạn có thể đạt được điều đó bằng cách thêm một nửa sau một nửa sau một nửa, v.v. Chuỗi ½ + ¼ + ⅛ +… thực sự hội tụ thành 1, để bạn kết thúc khoảng cách cần thiết nếu bạn thêm vô số điều khoản. Bạn có thể chứng minh điều này một cách khéo léo bằng cách trừ toàn bộ chuỗi nhân đôi toàn bộ như sau:

(series) = ½ + ¼ + ⅛ + …
2 * (series) = 1 + ½ + ¼ + ⅛ + …
Therefore, [2 * (series) - (series)] = 1 + (½ + ¼ + ⅛ + …) – (½ + ¼ + ⅛ + …) = 1.

Nhưng nó cũng có thiếu sót. Dòng suy luận toán học này chỉ đủ tốt để cho thấy rằng tổng quãng đường bạn phải đi hội tụ đến một giá trị hữu hạn. Nó không cho bạn biết bất cứ điều gì về việc bạn mất bao lâu để đến đích, và đó là một phần khó khăn của nghịch lý.

Một phản hồi khác - do chính Aristotle đưa ra là chỉ ra rằng khi chúng ta chia quãng đường chạy, chúng ta cũng nên chia tổng thời gian đã thực hiện: có 1/2 thời gian cho 1/2 cuối cùng, 1/4 thời gian cho 1/4 thời gian trước đó, 1/8 thời gian cho 1/8 thời gian chạy và cứ tiếp tục như vậy. Do đó, mỗi khoảng cách phân số chỉ bằng một phần nhỏ trong tổng thời gian hữu hạn để Atalanta hoàn thành nó, và do đó quãng đường có thể được hoàn thành trong một thời gian hữu hạn. Aristotle cảm thấy rằng câu trả lời này sẽ làm Zeno hài lòng, tuy nhiên ông cũng nhận ra rằng nó không thể là kết thúc của vấn đề. Hiện tại, đang nói rằng thời gian Atalanta cần để đến bến xe buýt bao gồm vô số mảnh hữu hạn—…, 1/8, 1/4 và 1/2 tổng thời gian — và đó không phải là thời gian vô hạn?

Bài viết được lược dịch từ nhiều nguồn.