Chào mừng Bạn tham gia Diễn Đàn VNKienThuc.com - Định hướng Forum Kiến Thức
- HÃY TẠO CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC HỮU ÍCH VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN
Kết nối: VNK X - VNK groups | Nhà Tài Trợ: BhnongFood X - Bhnong groups - Đặt mua Bánh Bhnong

Trả lời chủ đề

Nội dung: <blockquote data-quote="yoyoyo" data-source="post: 2190" data-attributes="member: 204">3.Tích phân hàm vô tỉ   đổi biến Trong nhiều trường hợp để tính tích phân \[ \int_a^b f(x, sqrt{u(x)} dx \] ta chỉ cần đơn giản đặt t = \[ sqrt{u(x)} \]. Nhớ đổi biến thì cũng phải đổi cận lấy tích phân. Ví dụ 1: I = \[ \int_{\sqrt{5}}^{2 \sqrt{3}} \quad \frac{dx}{x \sqrt{x^2+4}} \] (Khối A-2003) Đặt t = \[ \sqrt{x^2+4} \], ta đưa về tính tích phân hửu tỉ đơn giản \[ \int_2^4 \quad \frac{dt}{t^2-4} \] Ví dụ 2: I = \[ \int_1^2 \quad \frac{xdx}{1+\sqrt{x-1}} \] (Khối A-2004) Đặt t = \[ \sqrt{x-1} \] đưa về tính tíchphân hửu tỉ \[ \int_0^1 \quad \frac{t^3+t}{1+t}dt \] Ví dụ 3: I = \[ \int_1^e \quad \frac{\sqrt{1+3lnx}lnx}{x}dx \] (Khối B-2004) Đặt t = \[ \sqrt{1+3lnx} \], được \[ \int_1^2 \quad \frac{2}{9} (t^4-t^2)dt \] Một số dạng tích phân vô tỉ có cách đổi biến đặc biệt, nên nhớ: K1 = \[ \int \sqrt{a^2-x^2}dx \] Đặt x = |a|sint, đưa về tích phân lượng giác quen thuộc \[ \int a^2cos^2tdt \] K2 = \[ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2} }\]Tương tự K1, đặt x = |a|sint K3 = \[ \int \sqrt{x^2+a^2}dx \]Đặt x= |a|tgt, đưa về tích phân lượng giác quen thuộc. K4 = \[ \int \frac{dx}{x^2+a} \]Đặt t = x + \[ \sqrt{x^2+a} \]. Cũng còn một số dạng khác nữa, nhưng trên đây là các dạng thường gặp nhất. Ta làm vài ví dụ để luyện tập. Ví dụ 4: \[ \int_0^1 \sqrt{1-x^2}dx \]Ví dụ 5: \[ \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} \]Ví dụ 6: \[ \int_{\sqrt{2}}^3 \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} \]Ví dụ 7: \[ \int_0^1 \sqrt{x^2+1}dx \]Ví dụ 8: \[ \int_2^{2/\sqrt{3}} \quad \frac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} \] Để tính tích phân các hàm vô tỉ ta còn dùng Phương pháp tích phân từng phần .Trở lại ví dụ 7 trên đây: \[ \int_0^1 \sqrt{x^2+1}dx \] Ta còn có thể giải: đặt u = \[ \sqrt{x^2+1} \], dv = dx; bài toán qui về tính tích phân dạng K4Ngoài ra, thường thì ta cũng phải biến đổi chút ít mới đưa về các dạng quen thuộc Ví dụ 9: \[ \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \]Ví dụ 10: \[ \int_0^1 \frac{x^3dx}{x+\sqrt{x^2+1}} \] Hướng dẫn giải các ví dụ vd4: Dạng K1, đặt x = sint (ví dụ1 SGK trg131)vd5: Dạng K2, đặt x = 2sint (bài tập 3.26-e SBT)vd6: Dạng K4, đặt t = x + \[ \sqrt{x^2+a} \]. (bài tập 3.26-d SBT)vd7: Dạng K3, đặt x = tgt, đưa về \[ \int_0^{\pi/4} \quad \frac{dt}{cos^3t} \]Đây là tích phân lượng giác quen thuộc (xem phần tích phân luọng giác)Cách khác: đặt t = x + \[ \sqrt{1+x^2} \].Vd8: Với tích phân dạng \[ \int \sqrt{x^2-a^2}dx \] có cách giải rất đặc trưng là đặt x = |a|/sint. Tuy nhiên có thể làm cách khác, như với ví dụ này: đặt t = 1/x đưa về tích phân dạng K2, hoặc đơn giản hơn, đặt t = \[ \sqrt{x^2+1} \] đưa về tích phân hửu tỉ quen thuộc.Vd9: Nhân lượng liên hiệp để khử căn ở mẫu,ta có ngay hai tích phân cơ bảnVd10: Tương tự, nhân lương liên hiệp để khử căn ở mẫu, được  \[ \int_0^1x^4dx-\int_0^1x^3\sqrt{x^2+1}dx \]. Với tích phân thứ hai đặt t = \[ sqrt{x^2+1} \]. Sau đây là một số bài tập tính tích phân hàm vô tỉ trích từ một số đề thi TS ĐH&CĐ mấy năm gần đây BT1. \[ \int_0^{\sqrt{3}} \quad \sqrt{1+x^2}x^3dx \] BT2. \[ \int_{-1}^0 \quad x\sqrt{1+x}dx \] BT3. \[ \int_1^2 \quad \frac{xdx}{\sqrt{2+x}+\sqrt{2-x} }\] BT4. \[ \int_0^2 \quad x^2\sqrt{4-x^2}dx \] BT5. \[ \int_{-1}^4 \quad \frac{2dx}{\sqrt{x+5}+4} \] BT6. \[ \int \frac{\sqrt{1+x}}{x}dx \] BT7. \[ \int_1^9 x\sqrt[3]{1-x}}dx \] Hướng dẫn: BT1: đặt \[t = \sqrt{1+x^2}. \]Cũng có thể đổi biến x = tantBT2: đặt t = \[\sqrt{x+1}\]BT3: Nhân lượng liên hiệp khử mẫuBT4: đặt x = 2sintBT5: đặt \[t = \sqrt{x+5}\]BT6: đặt \[t = \sqrt{1+x}\]BT7: đặt \[t = \sqrt[3]{1-x}\]</blockquote>

Tên

Mã xác nhận