Chào mừng Bạn tham gia Diễn Đàn VNKienThuc.com - Định hướng Forum Kiến Thức
- HÃY TẠO CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC HỮU ÍCH VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN
Kết nối: VNK X - VNK groups | Nhà Tài Trợ: BhnongFood X - Bhnong groups - Đặt mua Bánh Bhnong

Trả lời chủ đề

Nội dung: <blockquote data-quote="yoyoyo" data-source="post: 2189" data-attributes="member: 204">2.Tích phân hàm lượng giác Các dạng thường gặp J.1 = \[ \int cosxdx \].J.2 = \[ \int sinxdx \]. J.3 = \[ \int \frac{dx}{cos^2x} = \int (1+tg^2x)dx \]J.4 = \[ \int \frac{dx}{sin^2x} = \int (1+cotg^2x)dx \]Trên là 4 nguyên hàm lượng giác cơ bản đã học (có trong Bảng các nguyên hàm SGK).Từ các nguyên hàm cơ bản này ta dễ dàng tính được \[ \int cos(ax+b)dx \], \[ \int sin(ax+b)dx \] …Các nguyên hàm sau cũng khá thường gặp, hơn nữa cách tính chúng rất điển hình cho cách tính tích phân các hàm lượng giác, nên cần nắm vững:J.5 = \[ \int tgxdx \]J.6 = \[ \int sin^2xdx \]J.7 = \[ \int tg^2xdx \]J.8 = \[ \int \frac{dx}{sinx} \]J.9 = \[ \int sin^3xdx \]J.10 = \[ \int tg^3xdx \]J.11 = \[ \int \frac{dx}{sin^3x} \]Tính J.5: tgx = sinx/cosx. Đặt u = cosx, đưa về tính nguyên hàm hửu tỉ dạng u’/u.Trình bày gọn: \[ \int tgxdx = \int \frac{sinxdx}{cosx} = -\int \frac{d(cosx)}{cosx} \] = -ln|cosx| + C.Hoàn toàn tương tự với \[ \int cotgxdx \]J.6: biến đổi \[ sin^2x = \frac{1-cos2x}{2} \], đưa về tính nguyên hàm dạng J.1Tương tự với \[ \int cos^2xdx \].( Nói chung, ta chỉ phát biểu bài toán với sin, tang. Bài toán với cos, cotg là tương tự, từ nay sẽ không nhắc lại J.7: biến đổi \[ tg^2x = (1+tg^2x) -1 \], đưa về hai nguyên hàm cơ bảnJ.8: \[ \frac{1}{sinx} = \frac{sinx}{1-cos^2x} \], đặt u = cosx, đưa về nguyên hàm hàm hửu tỉ.Cũng có thể đặt t = tg(x/2), dẫn đến \[ \int \frac{dx}{sinx} = \int \frac{dt}{t} \] = ln|t| + C = ln|tg(x/2)| + C.J.9: \[ sin^3xdx = sinx.(1-cos^2x)dx = sinxdx-cos^2xd(cosx) \], đưa về tính hai nguyên hàm cơ bảnCũng có thể biến đổi: \[ sin^3x = \frac{3sinx-sin3x}{4} \], cũng đưa về hai nguyên hàm cơ bảnJ.10: \[ tg^3xdx = (1+tg^2x-1)tgxdx = tgx(1+tg^2x)dx - tgxdx = tgxd(tgx) - tgxdx \], đựoc nguyên hàm cơ bản và I.5J.11: đặt u = 1/sinx, dv = \[ \frac{1}{sin^2x}dx \], qui về tính I = \[ \int \frac{cos^2xdx}{sin^3x} = \int \frac{1-sin^2x}{sin^3x}dx = \int \frac{dx}{sin^3x}-\int \frac{dx}{sinx} \] = J.11 + J.8 Từ các bài toán trên, ta thấy để tính tích phân hàm lượng giác các cách thường dùng là1. Biến đổi đưa về tích phân cơ bản  Ví dụ ở I.6, I.7, I.9. Ta xét thêm vài thí dụ: J.12 \[ \int_0^{\pi/2} \quad \frac{dx}{1+cosx} \] J.13 \[ \int_0^{\pi/2} \quad \frac{sin^5xdx}{1+cosx}dx \] J.14 \[ \int_0^{\pi/4} \quad {\frac{tgx-1}{tgx+1}}^2dx \] J.15 Giải phương trinh f(t) = \[ \int_0^t (4sin^4x - \frac{3}{2} )dx \] = 0 2. Đổi biến đưa về tích phân cơ bản  Ví dụ ở J.5, J.8, J.10. Sau đây là một số ví dụ khác: J.16 = \[\int_0^{\pi/2} \quad \frac{dx}{1+sinx+cosx} \] J.17 = \[\int_0^{\pi/2} \quad \frac{sinx+7cosx+6}{4sinx+3cosx+5} dx\] J.18 = \[\int_{\pi/6}^{\pi/3} \quad \frac{dx}{sinx.sin(x+\pi/6)} \] J.19 = \[\int_{\pi/6}^{\pi/3} \quad \frac{dx}{sqrt{3}sinx+cosx }\] 3. Phương pháp tích phân từng phần ví dụ với J.11. Một số ví dụ khác: J.20 = \[ \int_0^1 \quad \frac{x}{cos^2x} dx \] J.21 = \[ \int_0^1 \quad xtg^2xdx \] Hướng dẫn giải các ví dụ J.12: Mẫu = 1+cosx = \[ 2cos^2 \frac{x}{2} \] Chú ý dạng tổng quát cũng thường gặp: \[ \int \frac{dx}{1+cosax} = \frac{1}{a}.tg \frac{ax}{2} + C \] \[ \int \frac{dx}{1-cosax} = - \frac{1}{a}.cotg \frac{ax}{2} + C \]  J.13: f(x) = \[ \frac{(1-cos^2x)sin^3x)}{1+cosx} = \sin^3{x}-\cos{x}\sin^3{x} = \frac{3sinx-sin3x-sin2x(1-cos2x)}{4} \] J.14: f(x) = \[ {\frac{tgx-tg \frac{\pi}{4}}{1+tgxtg \frac{\pi}{4}}}^2 = tg^2(x-\frac{\pi}{4} \] J.15: biến đổi hàm dưới dấu tích phân g(x) = \[ \frac{1}{2}cos4x \] – 2cos2x. Suy ra f(t) = sin2t \[ \left( \frac{1}{4}cos2t-1 \right) \] = 0. J.16: đặt t = tg(x/2).Tổng quát: nguyên hàm dạng \[ \int\frac{dx}{asinx+bcosx+c} \] có thể hửu tỉ hóa bằng cách đặt t = tg(x/2).Tuy nhiên khi tính tích phân của f(x) trên đoạn [a;b] phải chú ý t = tg(x/2) có được xác định trên đoạn ấy? nếu không, phải tìm cách đổi biến khác.  J.17: Gọi M = mẫu thức, M’ = đạo hàm của M. Biến đổi: f(x) = \[ \frac{A.M+B.M'+C}{M} = A + B \frac{M'}{M} + C \frac{1}{M}\] Tổng quát: \[ \int \frac{{a}sinx+{b}cosx+{c}}{{a'}sinx+{b'}cosx+{c'}} dx \]: tính tương tự J.18: f(x) = \[ \frac{sin((x+\frac{\pi}{6})-x)}{sinx.sin(x+\frac{\pi}{6})}.\frac{1}{sin{\frac{\pi}{6}}} \] Tổng quát: với \[ \int \frac{dx}{sin(x+a)sin(x+b)} \] ta làm tương tự để biến đổi, đưa về tính hai tích phân cơ bản:f(x) = \[ \frac{sin(x+a)-(x+b)}{sin(x+a)sin(x+b)} \frac{1}{sin(a-b)} \] = \[ \frac{1}{sin(a-b)} \cdot (\frac{cos(x+b)}{sin(x+b)}-\frac{cos(x+a)}{sin(x+a)} ) \]  Tương tự với f(x) = 1/cos(x+a)cos(x+b), 1/sin(x+a)cos(x+b)...  Với \[ \int \frac{dx}{sin(x+a)+sin(x+b)} \]: biến đổi mẫu có dạng tổng thành tích, đưa về dạng trên. J.19: mẫu = sin(x+pi/6), được dạng tích phân cơ bản. Tổng quát: \[ \int \frac{dx}{asinx+bcosx} = \int \frac{1}{sqrt{a^2+b^2} \frac{dx}{sin(x+\alpha)}} \]. Cách khác: đặt t = tg(x/2) đưa về tích phân hữu tỉ. J.20: đặt u = x, dv = dx/cos^2x. J21: \[ xtg^2x = x\left( \frac{1}{cos^2x}-1 \right) \]---------------------------------------------------------------------------- Một số đề thi TS ĐH&CĐ những năm gần đây để các bạn thực tập D1 = \[ \int_0^{\pi/2} \quad \frac{4sin^3x}{1+cosx}dx \] D2 = \[ \int_0^{\pi/2} \quad \frac{sinx}{1+3cosx}dx \] D3 = \[ \int_0^{\pi/2} \quad \frac{sin2x}{1+cosx}dx \] D4 = \[ \int_0^{\pi} \quad \frac{xsinx}{1+cos^2x}dx \] D5 = \[ \int_0^{\pi/2} \quad cos^5xdx \] D6 = \[ \int_0^{\pi/2} \quad cos2x(sin^4x+cos^4x)dx \] D7 = \[ \int_0^{\pi/2} \quad sinx.sin2x.sin3xdx \] D8 = \[ \int_0^{\pi/4} \quad \frac{1-2sin^2x}{1+sin2x}dx \] D9 = \[ \int_0^{\pi/4} \quad x.tg^2xdx \] D10 = \[ \int_0^{\pi/2} \quad \frac{sin^{2004}x}{sin^{2004}x+cos^{2004}x}dx \]</blockquote>

Tên

Mã xác nhận