Một số bài toán trong violympic.vn vòng 15! aj làm được mình thanks very much!!!

[talamavuong1996]

Câu 1:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
Cho hình thang cân ABCD (đáy lớn CD) nội tiếp đường tròn (O). Biết

, với I là giao điểm hai đường chéo và K là giao điểm của hai cạnh bên kéo dài. Khi đó góc

=

.

Câu 2:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
Máy bay A mất nhiều hơn máy bay B 18 phút để vượt qua quãng dường dài 450 dặm. Nếu tăng vận tốc gấp đôi thì máy bay A đến sớm hơn máy bay B 36 phút. Vận tốc ban đầu của máy bay A là (dặm/giờ)

Câu 3:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại E, các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại F. Biết

, ta có

=

. (Viết kết quả dưới dạng số thập phân)

Câu 4:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
ABCD là tứ giác có 4 đỉnh thuộc đường tròn (O). Gọi K là giao điểm của AC và BD. Biết

. Số đo góc ABD bằng độ.

Câu 5:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
Một hình vuông nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính 5 (tức là hình vuông có 2 đỉnh thuộc nửa đường tròn, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường kính). Diện tích của hình vuông đó là


Câu 6:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
Cho đường tròn (O; r) có hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Trên cung BC lấy điểm E sao cho BE = r. Gọi I là giao điểm của AB và DE. Khi đó

=

.

Câu 7:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
Số nghiệm

với

nguyên dương của phương trình

là


Câu 8:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
Trên đường tròn (O), lấy ba cung liên tiếp AB, BC, CD có số đo lần lượt tỉ lệ với 3; 2; 4 và số đo của cung DA bằng 90 độ. Tiếp tuyến tại C và D của (O) cắt nhau tại P. Số đo của góc CPD bằng độ.

Câu 9:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
Hai đường thẳng

;

và trục Ox hợp thành tam giác OAB. Góc nhỏ nhất của tam giác đó bằng

.

Câu 10:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH của tam giác cắt đường tròn ở D. Vẽ đường kính AOE. Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Biết BC = 24cm; IM = 8cm. Bán kính của đường tròn (O) bằng cm.

Câu 11:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
Nếu một đa giác đều có góc bằng

thì số cạnh của nó là


Câu 12:Điền kết quả thích hợp vào chỗ (...):
Cho đường tròn (O) và hai dây MA, MB vuông góc với nhau. Gọi I và K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB. Biết MA = 12cm; MB = 16cm. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB bằng cm.

Làm được càng nhiều càng tốt các nhà toán học nhé!!!!!! :79::79::79::79::79::79::79::79::79::79::79::79::79::79::79::79::79::79:

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 1.

\[\Delta KDC\] cân nên \[\hat{KCD}=\hat{KDC}=\frac{180^{\circ} -20^{\circ} }{2}=80^{\circ} \] ;

\[\Delta IDC\] cân nên \[\hat{ICD}=\hat{IDC}=\frac{180^{\circ} -130^{\circ} }{2}=25^{\circ} \].

\[ \Rightarrow \hat{ACB}=\hat{KCD}-\hat{ICD}=80^{\circ} -25^{\circ} =55^{\circ} \].

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 2.

Gọi vận tốc máy bay A và máy bay B lần lượt là: \[{v}_{1},{v}_{2}\] (dặm/giờ) \[ \left({v}_{1},{v}_{2}>0 \right) \]

Khi đó thời gian để máy bay A và máy bay B đi hết quãng đường 450 dặm lần lượt là: \[\frac{450}{{v}_{1}}\] (giờ) và \[\frac{450}{{v}_{2}}\] (giờ).

Vì máy bay A mất nhiều hơn máy bay B 18 phút để đi hết 450 dặm nên ta có phương trình: \[\frac{450}{{v}_{1}}-\frac{450}{{v}_{2}}=\frac{18}{60}\] (1)

Vì tăng vận tốc gấp đôi nên máy bay A đến sớm hơn máy bay B 36 phút nên ta có phương trình: \[\frac{450}{{v}_{2}}-\frac{450}{2{v}_{1}}=\frac{36}{60}\] (2)

Lấy (1) cộng (2) ta được:

\[\frac{450}{{v}_{1}}-\frac{450}{{v}_{2}}+\frac{450}{{v}_{2}}-\frac{450}{2{v}_{1}}=\frac{18}{60}+\frac{36}{60} \Leftrightarrow \frac{450}{2{v}_{1}}=\frac{54}{60} \Leftrightarrow \frac{225}{{v}_{1}}=\frac{9}{10} \Rightarrow {v}_{1}=\frac{225.10}{9}=250\] (dặm/giờ)

Vậy vận tốc ban đầu của máy bay A là 250 (dặm/giờ).

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 3.

\[\hat{DFC}=26^{\circ} =180^{\circ} -\left(\hat{FDC}+\hat{C} \right)(1)\] ;

\[\hat{BEC}=37^{\circ} =180^{\circ} -\left(\hat{EBC}+\hat{C} \right)(2)\].

Lấy (1) cộng (2), ta được:

\[63^{\circ} =2.180^{\circ} -\left(\hat{FDC}+\hat{EBC} \right)-2\hat{C} \Leftrightarrow 63^{\circ} =2.180^{\circ} -180^{\circ} -2\hat{C} \Rightarrow \hat{C}=\frac{180^{\circ} -63^{\circ} }{2}=58,5^{\circ} \].

Vậy \[\hat{BAD}=180^{\circ} -58,5^{\circ} =121,5^{\circ} \].

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 4.

\[\hat{DAC}=\hat{DBC}=\alpha \] (Vì cùng chắn cung CD) ;

Ta có:
\[\alpha +\hat{KAB}=100^{\circ} (3)\]

\[\alpha +\hat{KBA}=78^{\circ} (4)\]

Lấy (3) cộng (4), ta được:

\[2\alpha +\left(\hat{KAB}+\hat{KBA} \right)=178^{\circ} \Leftrightarrow 2\alpha +100^{\circ} =178^{\circ} \Rightarrow \alpha =\frac{178^{\circ} -100^{\circ} }{2}=39^{\circ} \].

Vậy \[\hat{ABD}=\hat{ABC}-\alpha =78^{\circ} -39^{\circ} =39^{\circ} \].

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 5.

- Gọi cạnh hình vuông ABCD là: x (Với A, B là hai điểm nằm trên nửa đường tròn ; C, D thuộc đường kính đường tròn (O)).

Ta có \[OA = OB = 5, AD = BC \Rightarrow \Delta OAD=\Delta OBC \Rightarrow OC=OD=\frac{x}{2}\].

Vậy \[{OA}^{2}={AD}^{2}+{OD}^{2} \Leftrightarrow {5}^{2}={x}^{2}+{\frac{x}{2}}^{2}=\frac{5}{4}x \Rightarrow x=2\sqrt{5}\].

Vậy diện tích hình vuông ABCD bằng \[{S}_{ABCD}={x}^{2}={\left(2\sqrt{5} \right)}^{2}=20\].

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 6.

Vì điểm E nằm trên đường tròn (O) nên \[\hat{AEB}=90^{\circ} \] (Vì góc nội tiếp \[\hat{AEB}\] chắn nửa đường tròn (O)).

Suy ra \[OA=OB=OC=OD=OE=EB=r\]. Vậy \[\Delta OEB\] là tam giác đều nên \[\hat{EOB}=60^{\circ} \Rightarrow \hat{EOC}=90^{\circ} -60^{\circ} =30^{\circ} \] Vì \[\Delta ODE\] cân nên \[\hat{ODE}=\hat{OED}=\frac{30^{\circ} }{2}=15^{\circ} \].

Vậy \[\hat{AID}=90^{\circ} -\hat{ODI}=90^{\circ} -15^{\circ} =75^{\circ} \].

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 7.

3x + 5y = 501 (1)

Suy ra 5y = 501 - 3x. Vậy y phải chia hết cho 3. Đặt y = 3k (k thuộc Z). Vậy x = 167 - 5k.

Bây giờ ta chọn số k nguyên dương sao cho x và y nguyên dương, ta có:
167 - 5k > 0 ; 3k > 0 ;
<=> 0 < k < 33,4 => 1 ≤ k ≤ 33 ;
Vậy có 33 giá trị k thỏa mãn phương trình. Kết luận: Phương trình (1) có 33 nghiệm (x ; y) nguyên dương.

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 8.

Theo đề ta có: \[\frac{\hat{AB}}{3}=\frac{\hat{BC}}{2}=\frac{\hat{CD}}{4}\] ; Đặt \[\hat{AB}=x\], ta có: \[\hat{BC}=\frac{2}{3}x\] và \[\hat{CD}=\frac{4}{3}x\].

Vậy \[\hat{AB}+\hat{BC}+\hat{CD}=\hat{DA} \Leftrightarrow x+\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}x=90^{\circ} \Leftrightarrow 3x=90^{\circ} \Rightarrow x=30^{\circ} \]. Ta tính được: \[\hat{AB}=30^{\circ} \], \[\hat{BC}=20^{\circ} \], \[\hat{CD}=40^{\circ} \].

Ta lại có \[\hat{PDC}=\frac{1}{2}\hat{CD}\] (Theo định lý "Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung").

\[\hat{PDC}=\frac{1}{2}\hat{CD}=\frac{1}{2}.40^{\cir} =20^{\circ} \].

Lại có \[\Delta PCD\] cân tại P (Vì P là giao điểm của hai tia tiếp tuyến).

Vậy \[\hat{CPD}=180^{\circ} -2.20^{\circ} =140^{\circ} \].

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 9.

[Solving Problems...]

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 10.

Ta có \[OM\perp DE\] (Theo liên hệ giữa cung và dây căng cung).

Góc \[\hat{ADE}=90^{\circ} \] (Vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), vậy \[DE//BC\] .

Suy ra \[OM\perp BC\] tại I. Gọi bán kính đường tròn (O) là: \[R\].

Vậy \[{OI}^{2}={OB}^{2}-{IB}^{2} \Leftrightarrow {OI}^{2}={R}^{2}-{12}^{2} \Leftrightarrow OI=\sqrt{{R}^{2}-{12}^{2}}\]

Nên \[OM=OI+IM \Leftrightarrow R=\sqrt{{R}^{2}-{12}^{2}}+8\].

Giải phương trình \[R=\sqrt{{R}^{2}-{12}^{2}}+8\] :

\[ \Leftrightarrow R-8=\sqrt{{R}^{2}-{12}^{2}}\]

\[ \Leftrightarrow {\left(R-8 \right)}^{2}={R}^{2}-{12}^{2}\]

\[ \Leftrightarrow {R}^{2}-16R+{8}^{2}={R}^{2}-{12}^{2}\]

\[ \Leftrightarrow {8}^{2}+{12}^{2}=16R\]

\[ \Leftrightarrow R=\frac{{8}^{2}+{12}^{2}}{{4}^{2}}=13\]

Vậy bán kính đường tròn tâm O bằng 13 cm.

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 11.

- Gọi số cạnh bằng: n. Ta có số cạnh bao giờ cũng bằng số góc có trong một đa giác lồi. Vậy tổng các góc trong một đa giác đều bằng 144n.

Theo công thức “Tính tổng các góc trong một đa giác có n cạnh” là bằng: \[(n-2).180^{\circ} \].

Vậy \[(n-2).180^{\circ} =144n\] . Giải phương trình trên, ta có được n = 10.

Vậy số cạnh của đa giác đều có góc bằng \[144^{\circ} \] là bằng 10 cạnh.

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu 12.

Vì góc nội tiếp AMB có số đo góc bằng 90 độ, điều này có nghĩa là góc AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O). Vậy có nghĩa dây AB chính là đường kính của đường tròn (O), và ba điểm A, O, B cùng nằm trên cùng một đường thẳng.

Gọi bán kính đường tròn (O) là: R. Ta có \[{AB}^{2}={MA}^{2}+{MB}^{2} \Leftrightarrow {\left( 2R\right)}^{2}={12}^{2}+{16}^{2}=400 \Rightarrow R=10\]

Vậy bán kính đường tròn (O) bằng 10 cm.