Một bài toán hình!

[Thandieu2]

Thandieu2 chưa nghĩ ra phương pháp làm bài toán này vì trường hợp của bài toán rất đặc biệt. Phương trình tham số của đường AC, AB, hoặc BC đều có chứa số 0. Ai làm được rồi làm ơn chỉ bảo nhé.


Đề bài:

Cho A(2;-1;6)
B(-3;-1;-4)
C(5;-1;0)

Tính bán kính đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác ABC

Đã biết tam giác ABC này là tam giác Vuông tại C. Điều băn khoăn của Thandieu2 là tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Chân thành cảm ơn!

 

[NguoiDien]

Ta có:

\[\overrightarrow{AB}=(-5;0;-10)\]

\[\overrightarrow{AC}=(3;0;-6)\]

\[\overrightarrow{BC}=(8;0;4)\]

Do đó \[\overrightarrow{AC}\pepr \overrightarrow{BC}=0\] hay tam giác \[ABC\] vuông tại \[C\]. Khi đó đường tròn ngoại tiếp tam giác có tâm là trung điểm cạnh huyền \[AB\]

Đường tròn nội tiếp tam giác thì sử dụng điều kiện tâm dường tròn nội tiếp: Dùng công thức diện tích tam giác:

\[S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]

và \[S=pr\]

Trong đó \[p\] là nửa chu vi, \[a,b,c\] là ba cạnh tam giác và \[r\] là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Cụ thể với bài toán:

\[a=BC=4\sqrt{5}\]

\[b=AC=3\sqrt{5}\]

\[c=AB=5\sqrt{5}\]

\[\Rightarrow p=6\sqrt{5}\]

\[p-a=2\sqrt{5}\]

\[p-b=3\sqrt{5}\]

\[p-c=\sqrt{5}\]

\[\Rightarrow S=\sqrt{6\sqrt{5}.2\sqrt{5}.3\sqrt{5}.\sqrt{5}}=6.5=30\]

Mặt khác \[S=pr\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{30}{6\sqrt{5}}=\sqrt{5}\]

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là \[r=\sqrt{5}\]

Chú ý: Tại câu đầu tiên của thandieu làm mình định hướng lộn. Bài làm chỉ bắt đầu từ đoạn \[a=.....\]

 

[Thandieu2]

Đó là một cách rất hay và tuyệt nhanh!

Thày xem em nghĩ thế này được không?

Em định dựa hoàn toàn vào kiến thức Toán lớp 12, tức là cái phần khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.

Em viết phương trình đường thẳng AC với vecto chỉ phương AC.

Sau đó tìm một điểm K nào đó thuộc đường thẳng AC.. lúc này A, C, K đã biết, vécto chỉ phương AC đã biết.

Vậy khoảng cách từ điểm 0 (O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC) đến đường AC, AB, BC là bằng nhau, bằng bán kính r,

Giải hệ phương trình 3 ẩn xẽ tìm được ra tọa độ điểm O.

Thày bảo em nghĩ vậy có đúng ko? Tìm ra O rồi ra khoảng cách.

Nhưng em nghĩ cách của thày tuyệt hơn, nhanh gọn.

Nhưng mà nghĩ thì cũng cảm thấy cách của mình sai sai thế nào ấy, liệu có tìm được điểm K không nhỉ? hay mình viết phương trình tham số rồi chọn đạt cái t=1 hay t = 2 nào đó? Phân vân quá cơ, Em là người làm toán hay đi theo lối mòn, vậy mà vẫn khuyên học sinh là đừng làm theo lối mòn đó, thày còn chưa thực hiện được nữa là, hì hì

Tại em nghĩ tới cái cách cổ quái này nên mới thấy phương trình chính tắc của đường AC có sự lạ là mẫu bằng 0.

 

[NguoiDien]

Nếu dùng cách của thandieu2 thì làm như sau:

Viết phương trình tham số 3 đường thẳng \[AB, AC, BC\]

Từ đó gọi một điểm \[I(x;y;z)\] thì ta có ba khoảng cách đến 3 đường thẳng (cái này rất vất vả)

Cho 3 khoảng cách bằng nhau lập được hệ ba phương trình ba ẩn. Hệ này sẽ có vô số nghiệm tạo thành đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \[(ABC)\] và đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\], từ đây suy ra phương trình đường thẳng vuông góc đó.

Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng \[(ABC)\] sẽ ra tâm \[O\] của đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\] rồi tìm khoảng cách đến cạnh tam giác là bán kính cần tìm.

Cách này có nhược điemr lớn nhất là công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường, với kiến thức lớp 12 hiện tại là cả một vấn đề đối với học trò.

Thandieu2 còn có một nhầm lẫn là khi giải hệ sẽ ra được vô số điểm cách đều 3 đường thẳng \[AB,AC,BC\] (tập hợp các điểm đó là đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác \[ABC\] và vuông góc với mặt phẳng \[(ABC)\]) chứ không phải là chỉ có một điểm.

 

[Thandieu2]

nguoidien;8526
Cách này có nhược điểm lớn nhất là công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường, với kiến thức lớp 12 hiện tại là cả một vấn đề đối với học trò.

Đúng thật là cách này quá phức tạp, đối với em còn mơ mơ hồ hồ huống chi là bọn trẻ.
Đôi khi trong cuộc sống , với vấn đề đơn giản thì ta lại nghĩ vấn đề đó lên quá phức tạp. Với những bài toán cũng vậy, thầy nhỉ? Cảm ơn thầy nhiều,


Đúng là hình học không gian khác với hình học phẳng nhiều. Ở hình học phẳng thì chắc là em còn nghĩ đến cái cách viết 3 đường phân giác nữa cơ, rồi tìm tâm, lúc đó mới tính khoảng cách. Hình không gian cũng na ná hình phẳng, nhưng phức tạp thật. hihi.

Hình học phẳng: Nếu I là chân đường phân giác từ đỉnh A, thì ta có


\[\frac{\overrightarrow{IB}}{\pepr \overrightarrow{IC}}= -\frac{AB}{AC}\]

cái này có đúng không thầy?

 

[NguoiDien]

Trong hình học phẳng, nếu \[AI\] là phân giác của tam giác \[ABC\] (\[I\] nằm trên \[BC\] thì ta có:

\[\frac{AB}{AC}=\frac{BI}{IC}\]

Cái này là tỉ lệ độ dài, còn nếu dùng véc tơ thì thêm dấu "-" là đúng rồi, nhưng không ai dùng véc tơ cả vì khi đã dùng véc tơ là kiến thức lớp 10 rồi.