Một bài toán của thành viên gửi qua email

[Butchi]

Tôi có một bài toán khó cần đế sự trợ giúp của diễn đàn. Hy vọng diễn đàn giúp tôi giải bài toán này.

Bài toán như sau: Cho hàm số f(x) xác định với mọi giá trị của x, ta luôn có f(x) + 3f(1/x) = x2. Tìm f(2) ?

Xin trân trọng cảm ơn


thehoang02,

 

[NguoiDien]

Tôi có một bài toán khó cần đế sự trợ giúp của diễn đàn. Hy vọng diễn đàn giúp tôi giải bài toán này.

Bài toán như sau: Cho hàm số f(x) xác định với mọi giá trị của x, ta luôn có f(x) + 3f(1/x) = x2. Tìm f(2) ?

Xin trân trọng cảm ơn


thehoang02,

Bài này đơn giản mà!

Đề bài cho \[f(x)+3f\left(\frac{1}{x}\right)=x^2\]

Khi đó lấy \[\[x=2\] ta có:

\[f(2)+3f\left(\frac{1}{2}\right) =2^2=4\qquad (1)\]

Và tại \[x=\frac{1}{2}\] ta có:

\[f\left(\frac{1}{2}\right)+3f(2)=\left(\frac{1}{2} \right) ^2=\frac{1}{4}\qquad (2)\]

Nếu đặt \[f(2)=a\] và \[f\left(\frac{1}{2} \right) =b\] thì ta có hệ:

\[\left{ a+3b=4 \\ 3a+b=\frac{1}{4}\]

Giải hệ ta có: \[\left{ a=-\frac{13}{32} \\ b=\frac{21}{32}\]

Vậy \[f(2)=-\frac{13}{32}\]

==============
Bài toán này còn có chỗ thú vị là nếu tính \[f(1)\] thì cực đơn giản:

\[f(1)+3f(1)=1\] suy ra \[f(1)=\frac{1}{4}\]

 

[anhdao]

bài toán này em thấy ở VIOLYMPIC lớp 7 rùi. em cũng làm theo cách của nguoidien đó. lúc đầu chả biết giải theo cách nào. mày mò mãi mới tìm ra cách này. hihi.
chắc anh butchi bi em nào lớp 7 nhờ giải giúp rồi

 

[thehoang02]

Cảm ơn Butchi đã gải hộ bài toán. Đây là một bài toán trên Violympic dành cho HS lớp 7. Bạn giải như vậy rất hay nhưng tôi e rằng học sinh lớp 7 chưa học hệ phương trình nên chưa hiểu được. Bạn có phương pháp giải nào khác không ?