M là trung điểm DE?

[snowangel1103]

cho đường tròn (O) và một điểm A ở bên ngoài đường tròn. từ A vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O). M là một điểm trên dây BC (M khác B và C). đường thẳng vuông góc với OM tại M cắt các tia AB,AC lần lượt ở D và E. chứng minh
a) bốn điểm B,D,M,O và O,M,E,C cùng thuộc một đường tròn
b) M là trung điểm DE

 

[proboyvip1995]

a)
+) Có DE là tiếp tuyến tại M (gt) và AB là tiếp tuyến tại B (gt) => góc OMD = góc OBD = 90
-> góc OMD + góc OBD = 180 +. tứ giác BDMO là tứ giác nội tiếp -> bốn điểm B, D, M, O cùng thuộc 1 đường tròn.
+) Tương tự ta có M, E, C, O cũng thuộc 1 đường tròn.
b)
Gọi M là điểm chính giữa cung BC hay OM là tia phân giác góc BOC.
=> góc BOM = góc COM
Mặt khác có góc BOD = góc DOM = góc MOE = góc EOC = 1/2 góc BOM = 1/2 góc COM. ( làm được điều này thì bạn nên tự c/m lấy thông qua các tam giác = nhau )
Xét tam giác BOD và tam giác OCE:
Góc BOD = COE (c/m t)
có OB = OC = R
góc ODB = góc OCE = 90
-> 2 tam giác này = nhau -> OD = OE.
-> tam giác DOE là tam giác cân
Mặt khác OM lại là tia phân giác ( gọi ở trên )
-> OM cũng là đường trung tuyến -> M là trung điểm DE.
Vậy M là trung điểm của DE khi M nằm chính giữa dây BC.