Lượng giác tiếp nhé các cao thủ!!

[coconvuive12]

Tam giác ABC.CMR:
1.cos2A+cos2B-cos2C=1-4sinAsinBcosC
2.\[{cos}^{2}A+{cos}^{2}B+{cos}^{2}C\geq\frac{3}{4}\]

-------------
shop giay nam vs giay nam

 

[nghe an pro]

CÂU1;
VT=2cos(A+B)cos(A-B)+1-2COS^2 C
=1+2COSC(COS(A-B)-COS(A+B))
=1-4SINA.SIN B.COSC

 

[Toantu]

Bài 1

Vế trái :

cos2A+cos 2B-cos2C

= cos(A+180-B-C)+cos(B+180-A-C)-cos(C+180-A-B)
= -cos(A-B-C)-cos(B-A-C)+cos(C-A-B) (*)

Phân tích:

Cos(A-B-C) = cos(A-B)cosC+sin(A-B)sinC
= cosAcosBcosC+sinAsinBcosC+sinAcosBsinC-cosAsinBsinC
Cos(B-A-C) = cos(B-A)cosC+sin(B-A)sinC
= cosBcosAcosC+sinBsinAcosC+sinBcosAsinC-cosBsinAsinC
Cos(C-A-B) = cosCcos(A+B)+sinCsin(A+B)
= cosCcosAcosB-cosCsinAsinB+sinCsinAcosB+sinCcosAsinB

Thay vào (*) được :



cos2A+cos 2B-cos2C

= -cosAcosBcosC-sinAsinBcosC-sinAcosBsinC+cosAsinBsinC
- cosBcosAcosC-sinBsinAcosC-sinBcosAsinC+cosBsinAsinC
+ cosCcosAcosB-cosCsinAsinB+sinCsinAcosB+sinCcosAsinB
= -cosAcosBcosC-3 sinAsinBcosC+sinCsinAcosB+ sinCcosAsinB
= -4 sinAsinBcosC+ sinAsinBcosC-cosAcosBcosC+sinCsinAcosB+ sinCcosAsinB (**)

Phân tích:

sinAsinBcosC-cosAcosBcosC+sinCsinAcosB+ sinCcosAsinB

= cosC(sinAsinB-cosAcosB)+sinC(sinAcosB+cosAsinB)
= -cosCcos(A+B)+sinCsin(A+B)
= -cos(C+A+B)=-cos180=1

Thay vào (**) được:

cos2A+cos 2B-cos2C=1-4sinAsinBcosC

 

[Toantu]

Bài 2

Trước hết ta cần chứng minh đẳng thức sau:\[cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosAcosBcosC\]

Ta có:

\[cos^2A+cos^2B+cos^2C=\frac{1 + cos2A}{2}+\frac{1 + cos2B}{2}+\frac{1 + cos2C}{2}\]
\[=\frac{1}{2}(cos2A + cos2B + cos2C + 3)\]
\[=\frac{1}{2}(2cos(A + B)cos(A - B) + cos2C + 3)\]
\[=\frac{1}{2}(-2cosCcos(A - B) + 2cos^2C + 2)\]
\[=\frac{1}{2}(2cosC.[ cosC - cos(A - B)] +2)\]
\[=\frac{1}{2}(-2cosC.[ cos(A + B) + cos(A - B)] + 2)\]
\[=\frac{1}{2}(-2.cosC.2.cosA.cos(-B) + 2)\]
\[=\frac{1}{2}(-2.cosC.2.cosA.cosB + 2)= 1 - 2 cosA.cosB.cosC\]

Vậy đẳng thức được chứng minh

Thứ 2 ta cần chứng minh: Trong mọi tam giác ABC ta luôn có:\[cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}\]

Chọn \[\vec{AB}=\vec{a};\vec{BC}=\vec{b};\vec{CA}=\vec{c}\]
Hiển nhiên ta có \[({\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}})^{2}\geq 0\]
\[\Leftrightarrow 3+2cos(\vec{a};\vec{b})+2cos(\vec{b};\vec{c})+2cos(\vec{c};\vec{a})\geq 0\]
\[\Leftrightarrow 3-2(cosA+cosB+cosC)\geq 0\]
\[\Leftrightarrow cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}\]

Vậy bất đẳng thức được chứng minh


Theo Cô-si:\[cosAcosBcosC\leq ({\frac{cosA+cosB+cosC}{3}})^{3}\]

Theo chứng minh 2:\[cosA+cosB+cosC\leq \frac{3}{2}\]
\[\Rightarrow cosAcosBcosC\leq \frac{1}{8}\](*)

Theo chứng minh 1:\[cos^2A+cos^2B+cos^2C=1-2cosAcosBcosC\]
Nên từ (*) suy ra \[cos^2A+cos^2B+cos^2C\geq \frac{3}{4}\]

Bài toán được chứng minh

 

[nghe an pro]

toantu làm chi mà dài rứa?chỉ cân như tớ thui.mún giải bài này thì trc hết phải rõ cac ưu thế trong tam gáic đã chứ!!!lA+B+C=180.THẾ THÌ:bài này chỉ có thay cos C=-cos(A+B)..là xong ý mà!pro thấy bài giải của toantu là dài dòng đó.bẠN LÀM PHỨC TẠP LÊN OY ĐÓ!!!

 

[Toantu]

toantu làm chi mà dài rứa?chỉ cân như tớ thui.mún giải bài này thì trc hết phải rõ cac ưu thế trong tam gáic đã chứ!!!lA+B+C=180.THẾ THÌ:bài này chỉ có thay cos C=-cos(A+B)..là xong ý mà!pro thấy bài giải của toantu là dài dòng đó.bẠN LÀM PHỨC TẠP LÊN OY ĐÓ!!!

Cảm ơn bạn về góp ý!

Nhưng nếu bạn xem bài mình thì ngay từ đầu bài giải,mình đã vận dụng yếu tố A+B+C=180 rồi nhưng các cos mà bạn nói là cos2A,cos2B,cos2C.Nên mình làm là cos2C=cos(C+180-A-B)=-cos(C-A-B)

 

[nghe an pro]

toantu ơi,cách làm của bạn và của mình là 2 cách khác nhau mà!bạn xem cách làm của tớ cũnh đc mà!hình như ngắn và đỡ phức tạp hơn cậu đó!
tớ hạ góc xuống bằng cách công22 kái bất kì và nâng bậc kái còn lại còn j!tớ nghĩ làm thế nhanh hơn chứkofn câu kia tớ thấy cậu thật là giỏi..nhưng mà tớ góp ý tí nha...chỗ chứng minh cái thứ 2 thì vecto a ,vecto b,vecto c là vecto đơn vị chứ!!cậu xem lại nhé!thân!