Không gì hay và khó như BDT!!

[coconvuive12]

Bài 1: Cho a,b,c,d>0 tm:ab+bc+cd+da=3.Tìm min của biểu thức:
\[A=\frac{a^3}{b+c+d}+\frac{b^3}{c+d+a}+\frac{c^3}{d+a+b}\]
Bài 2:Cho các số thực x,y,z tm:\[3^{-x}+3^{-y}+3^{-z}=1\]
CMR:\[\frac{9^x}{3^x+3^{z+y}}+\frac{9^y}{3^y+3^{x+z}}\]+\[\frac{9^z}{3^z+3^{x+y}\]\[\geq{\frac{3^x+3^y+3^z}{4}}\]

 

[MjnhTrjet]

Bài 1: Tham khảo tại
https://diendankienthuc.net/diendan/hoi-dap-toan-hoc/32730-you-lam-giup-minh-may-bai-kho-nhe-3.html
Mục thứ: #24

Bài 2:

Cho các số thực x,y,z; 3[SUB2]-x[/SUB2] + 3[SUB2]-y[/SUB2] + 3[SUB2]-z[/SUB2] = 1.
CMR: 9[SUB2]x[/SUB2]/(3[SUB2]x[/SUB2]+3[SUB2]z+y[/SUB2]) + 9[SUB2]y[/SUB2]/(3[SUB2]y[/SUB2]+3[SUB2]x+z[/SUB2]) + 9[SUB2]z[/SUB2]/(3[SUB2]z[/SUB2]+3[SUB2]x+y[/SUB2]) >= (3[SUB2]x[/SUB2] + 3[SUB2]y[/SUB2] + 3[SUB2]z[/SUB2])/4

Giải:

Đặt: a = 3[SUB2]x[/SUB2], b = 3[SUB2]y[/SUB2], c = 3[SUB2]z[/SUB2]
Ta có điều kiện: 1/a+1/b+1/c = 1 và: a,b,c > 0.
Ta phải CM: S = a[SUB2]2[/SUB2]/(a+bc) + b[SUB2]2[/SUB2]/(b+ac) + c[SUB2]2[/SUB2]/(c+ab) >= (a+b+c)/4.
Ta có: 1/a+1/b+1/c = 1 = (bc+ac+ab)/abc. Nên: abc = ab+bc+ca. (1)
Và: abc = ab+bc+ca <= a[SUB2]2[/SUB2]+b[SUB2]2[/SUB2]+c[SUB2]2[/SUB2] = 3.[(a[SUB2]2[/SUB2]+b[SUB2]2[/SUB2]+c[SUB2]2[/SUB2])/(1+1+1)] <= 3(a+b+c)
( Sử dụng BĐT Schwazs ) Hay: abc <= 3(a+b+c) (2)
Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c = 3 (T).

Xét số hạng đầu tiên của S:
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số: a[SUB2]2[/SUB2]/(a+bc) và (a+bc)/16.
a[SUB2]2[/SUB2]/(a+bc) + (a+bc)/16 >= a/2.
Tương tự cho 2 số hạng kế tiếp, cộng 2 vế ta được:
S + (a+b+c+ab+bc+ca)/16 >= (a+b+c)/2. Để ý đến (1):
S + (a+b+c+abc)/16 >= (a+b+c)/2
S >= 7(a+b+c)/16 - abc/16
Do (2) nên: S >= 7(a+b+c)/16 - 3(a+b+c)/16 >= (a+b+c)/4.
Hay: S >= (a+b+c)/4 = (3[SUB2]x[/SUB2] + 3[SUB2]y[/SUB2] + 3[SUB2]z[/SUB2])/4 = 9/4. (đpcm)
Lúc đó (T) tương đương: x = y = z = 1.