I.Cho hình thang ABCD, AB = a cố định, hai điểm CD di động sao cho AD = b không đổi và CD = c không đổi.
a.Tìm quỹ tích điểm C, D
b. gọi M là giao điểm của AC, BD tính tỉ số BM/BD
c.Tìm quỹ tích điểm M
Hình vẽ:
Cách vẽ hình (trình bày trong bài làm):
Qua \[C\] vẽ đường thẳng song song với \[AD\] cắt \[AB\] tại \[I\]
Qua \[M\] vẽ đường thẳng song song với \[AD\] cắt \[AB\] tại \[K\]
Qua \[M\] vẽ đường thẳng song song với \[AB\] cắt \[AD\] tại \[N\]
a) Do \[AD=b\] cố định nên quỹ tích của \[D\] là đường tròn \[(A;b)
\]
Với cách vẽ hình thì \[AD//CI\] và \[CD//AB\]. Do đó \[ADCI\] là hình bình hành. Suy ra \[CI=b\] cố định. Hơn nữa \[AI=CD=c\] cố định nên \[I\] cố định. Vậy quỹ tích \[C\] là đường tròn \[(I;c)\]
b) Xét tam giác \[DCM\] và tam giác \[BAM\] có \[BA//CD\] và góc \[\widehat{DMC}=\widehat{BMA}\] (đối dỉnh) nên hai tam giác này đồng dạng.
Khi đó:
\[\frac{MD}{BM}=\frac{CD}{BA}=\frac{c}{a}\]
Mặt khác ta lại có:
\[\frac{BD}{BM}=\frac{BM+MD}{BM}=\frac{BM}{BM}+\frac{MD}{BM}=1+\frac{c}{a}=\frac{c+a}{a}\]
Vậy \[\frac{BM}{BD}=\frac{a}{c+a}\]
c) Xét hai tam giác \[DNM\] và tam giác \[DAB\]. Do cách vẽ \[MN\] song song với \[AB\] nên hai tam giác này đồng dạng. Suy ra:
\[\frac{MN}{AB}=\frac{DM}{DB}\]
Mặt khác ta lại có \[\frac{BM}{BD}=\frac{a}{a+c}\] nên \[\frac{DM}{BD}=\frac{c}{a+c}\]
Do đó:
\[\frac{MN}{AB}=\frac{c}{a+c} suy ra MN=\frac{ac}{a+c} \qquad (1)\]
Xét tam giác \[DBA\] và tam giác \[MBK\]. Tương tự như trên ta cũng có hai tam giác này đồng dạng. Suy ra:
\[\frac{KM}{AD}=\frac{BM}{BD}=\frac{a}{a+c}\]
Suy ra:
\[KM=\frac{ab}{a+c}\qquad (2)\]
Theo cách vẽ thì MNAK là hình bình hành. Do đó từ \[(1)\] và \[(2)\] ta có:
\[AK=MN=\frac{ac}{a+c}\] cố định suy ra \[K\] cố định.
\[KM=\frac{ab}{a+c}\] cố định.
Vậy quỹ tích của \[M\] là đường tròn \[\left( K;\frac{ab}{a+c}\right)\] với \[AK=\frac{ac}{a+c}\].
Chú ý: Trên hình vẽ quỹ tích của \[C,M\] là các đường tròn màu vàng.
Nếu em muốn kiểm tra quỹ tích (hình động) thì em tải file kèm theo sau:
Hình vẽ
Sau khi tải file này về em lấy phần mềm GSP ở đây:
https://diendankienthuc.net/diendan/showthread.php?t=6925
Em giải nén cả hai gói vừa tải ra rồi mở hình vẽ bằng phần mềm đó, giao diện hiện lên hình vẽ như trên bài làm này, góc trái bên trên có một nút
Quy tich, em nhấn chuột vào mũi tên bên thanh menu bên trái rồi nhấn vào nút
Quy tich sẽ thấy điểm D chạy trên đường tròn kéo theo các điểm C và M chạy trên các quỹ tích của nó.
Còn bài 2 của em không đúng đề bài. Em kiểm tra lại xem điểm D là điểm Nào. Nếu em gõ nhầm H thành D thì thiếu dữ kiện tam giác ABC vuông tại A
