[ Hình không gian ] Một bài tập về hình lập phương

[Hz0]

Các bạn giúp mình bài hình không gian nè với nhé :

Hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh bằng a
M, N, P là trung điểm AA', AD, CC'
Tính khoảng cách từ điểm O ( là tâm hv ABCD) xuống mp MNP

Nếu có thể mong bạn ghi qua hướng làm ( kèm giải thích tại sao làm thế càng tốt ) giúp mình nha.!!

Mình cảm ơn trước.!!! :68:

 

[Toantu]

Hướng làm : Tìm 1 mặt phẳng (P) đi qua O và (P) vuông góc với mp(MNP) theo giao tuyến a.Qua O kẻ OH vuông góc với a= >OH vuông góc với mp(MNP) và khoảng cách từ O đến mp(MNP) là OH

Bây giờ bạn bắt tay vào ''Tìm 1 mặt phẳng (P) đi qua O và (P) vuông góc với mp(MNP) theo giao tuyến a'' đi

 

[Hz0]

Hướng làm : Tìm 1 mặt phẳng (P) đi qua O và (P) vuông góc với mp(MNP) theo giao tuyến a.Qua O kẻ OH vuông góc với a= >OH vuông góc với mp(MNP) và khoảng cách từ O đến mp(MNP) là OH

Bây giờ bạn bắt tay vào ''Tìm 1 mặt phẳng (P) đi qua O và (P) vuông góc với mp(MNP) theo giao tuyến a'' đi

Hơ, cái này là lý thuyết mà cậu.
Nói thì là như thế nhưng xác định sao mới là vấn đề cho từng bài toán =.=
Tớ muốn hỏi hướng làm cụ thể ở bài này chứ ko hỏi tổng quát cho bài tập tính khoảng cách . Cảm ơn cậu.!

 

[Toantu]

Giải :

\[\acute{A}\acute{C}\perp mp(BD\acute{D}\acute{B})\] (do \[mp(A\acute{A}\acute{C}C)\perp mp(BD\acute{D}\acute{B}))\]

Mà \[\acute{A}\acute{C}// MP\Rightarrow MP\perp mp(BD\acute{D}\acute{B})\]

\[MP\epsilon mp(MNP)\Rightarrow mp(MNP)\perp mp(BD\acute{D}\acute{B})\]

Gọi E là trung điểm của \[B\acute{D}\Rightarrow E\] là tâm hình hộp
MP là đường trung bình mp\[AC\acute{C}\acute{A}\Rightarrow E\] cũng thuộc MP
Có : \[mp(BD\acute{D}\acute{B})\bigcap mp(AD\acute{D}\acute{A})=D\acute{D},D\acute{D}\sub mp(AD\acute{D}\acute{A})\]
\[MN\bigcap D\acute{D}={F}\]
Vậy giao tuyến của \[mp(BD\acute{D}\acute{B})\] và mp(MNP) là EF

Gọi I là trung điểm của \[D\acute{D}\Rightarrow MD\] là đường trung bình của tam giác MIF.Suy ra MN=NF,lại có AN=ND
Vậy AMDF là hình bình hành.\[FD=AM=\frac{a}{2}\]
Lại có \[OE=\frac{a}{2}\]
Mà OE//FD

Vậy OFDE là hình bình hành có \[ED=OF=\frac{1}{2}\acute{B}D=\frac{a\sqrt{3}}{2}\]
Do tam giác MID vuông cân tại I \[\Rightarrow \hat{MFI}=\hat{OFD}={45}^{o}\]
\[\Rightarrow \hat{OFE}={22,5}^{o}\]
Gọi H là hình chiếu của O trên EF.\[OH=OF.sin \hat{OFE}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.sin{22,5}^{o}\]

 

[hjkhjk]

gọi 0' là tâm của hình vuông A'B'C'D'
gọi I = DB' U B'D
mp (DBB'D') vuông góc với mp ( AA'C'C) , giao tuyến của 2 mp này là 00'
lại có MP vuông góc 00', suy ra MP vuông góc với mặt phẳng (DBB'D') ( hai mặt phẳn vuông góc thì bất kỳ đừong nào nằm trong mặt phẳn này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳn kia)
do MP thuộc (MNP) suy ra ( MNP) vuông góc ( DBB'D')
bây h đi tìm giao tuyến của ( MNP) và ( DBB'D')
trong mặt phẳng ( ADD'A') kéo dài MN U DD' = F
suy ra FI là giao tuyến của ( MNP) và ( DBB'D')
vậy hình chiếu của O lên mặt phẳng ( MNP) nămg trên FI
gọi hình chiếu của O lên FI là H
tính OH
trong mặt phẳng ( ADD'A') có AMN = DFN( chuẩn các đỉnh rồi )
suy ra DF=AM= a/2
ta có do tính chất của khối lập phuơng nên BD vuông góc (ACC'A') suy ra DO vuông góc 00'
ta có 00'= DD' = a suy ra OI= a/2
xét mặt phẳng ( 00'D'D) ta có
gọi K = FI U OD
do OI song song và bằng DF suy ra 0IDF là hình bình hành
gọi K =FI U OD, suy ra K là trung điểm của OD , dễ dàng tính được OD= a căn 2 trên 2( : D ko viết được công thức) suy ra OK = a căn 2 trên 4
suy ra dùng tính chất của đường cao tam giác OKI ta có 1/OH2 = ... anh cahr viết được
nói tóm lại OH =a/ 2 căn 3

 

[Hz0]

Cảm ơn Jen và anh Híc nhiều ạ.!!
Mình xin rút ra hướng tổng quát của bài trên như nè :

- mở rộng cái mp MNP ( thầy giáo gợi ý ^^ ) . Có thể kéo dài MN cắt D'D tại F ( theo Jen và anh Híc ) , xđ thêm tâm hlp E nằm trên MP. Hoặc theo mình có thể lấy Q : trung điểm CD thì Q cũng thuộc mp MNP

-Dùng một số cách để tính OH ( H: chân đường vông góc từ O xuống mp MNP ) . Có thể dùng lg trong tam giác vuông OHE, OHF ( có điều tính góc tam giác hơi phức tạp ); hoặc nếu lấy Q như trên có thể dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông OEQ ( vuông tại O ) để tính OH .

Một lần nữa cảm ơn mọi người đã giúp mình ^^.!!