Để mình giải trọn bài nha ! ^^
Câu a)
Tứ giác BDHF có \[\hat{BDA}\] + \[\hat{BFH}=90^{\circ} +90^{\circ} =180^{\circ} \]. Tổng hai góc đối bù nhau, vậy tứ giác BDHF nội tiếp được một đường tròn.
Câu b)
Gọi I là trung điểm cạnh BC. Vì \[\Delta BEC\] và \[\Delta BFC\] đều là tam giác vuông nên các đường trung tuyến IE và IF ứng với cạnh huyền BC đều bằng một nửa BC, tức IE = IF = IB = IC. Vậy bốn điểm B, C, E, F đều nằm trên cùng một đường tròn. Vậy tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp với tâm đường tròn chính là trung điểm I của cạnh BC.
Câu c)
Chứng minh ∆DBF đồng dạng với ∆ABC như câu b, ta sẽ có được: \[\hat{AFE}=\hat{DFB}=\hat{ACB}\]. Trong khi, \[\hat{AFC}=\hat{BFC}= 90^{\circ} \].
Suy ra, \[\hat{AFC}-\hat{AFE}=\hat{BFC}-\hat{DFB}\Leftrightarrow \hat{CFD}=\hat{CFE}\], tức FC là tia phân giác \[\hat{EFD}\].
Câu d)
Ta có IE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC, nên IE = IB = IC. Suy ra, góc BIE = góc IEC + góc ICE = 2.ACB .
Theo câu c, ta có: góc CFD = góc CFE, trong đó góc CFE = 90˚ - góc AFE = 90˚ - góc ACB.
Vậy, góc DFE = 2(90˚ - góc ACB) = 180˚ - góc BIE <=> góc DFE + góc BIE = 180˚. Hai góc đối DFE và góc BIE bù nhau trong tứ giác FDIE nên tứ giác FDIE là tứ giác nội tiếp.
Câu f)
IN vuông góc, đồng thời cũng đường trung tuyến nên ∆BNC là tam giác cân tại N, NB = NC.
Hai góc NAB và góc NCB cùng chắn cung BN, nên góc NAB = góc NCB.
Hai góc NBC và góc NAC cùng chắn cung CN, nên góc NBC = góc NAC = góc NCB. Vậy AN là tia phân giác góc A. Suy ra, góc NAB = góc NAC.
Ta lại có thêm, AB = AK, AM là cạnh chung và góc NAB = góc NAC => ∆AMB = ∆AMK (c-g-c).
Hai góc ABC và góc ANC cùng chắn cung AC, nên góc ABC = góc ANC, và vì góc MAB = góc CAN, nên ∆AMB ≈ ∆ACN (g-g-g).
Vậy ∆AMK ≈ ∆ACN (g-g-g), góc AKM = góc ANC, góc AMK = góc ACN.
góc AKM + góc MKC = góc ANC + góc MKC = 180˚. Hai góc đối MNC và góc MKC bù nhau trong tứ giác MNCK nên MNCK là tứ giác nội tiếp.
Câu g)
Ta gọi giao điểm giữa AO và FE là G.
Theo câu f, ta có góc MAK = góc MAB (1) ;
Theo câu e, ta có AO vuông góc với FE, góc GEA + góc GAE = góc DBA + góc DAB = 90˚.
Từ câu b, ta có góc AEF = góc DBF tức góc GEA = góc DBA. Vậy, góc GAE = góc DAB (2).
Lấy (1) trừ (2), ta có: góc MAK - góc GAE = góc MAB - góc DAB <=> góc MAO = góc MAD, tức AN là tia phân giác góc DAO.
Câu h)
Vì góc ACQ chắn đường kính AQ tức chắn nửa đường tròn tâm O nên góc ACQ = 90˚, vậy CQ // BE tức CQ // BH ;
Vì góc ABQ chắn đường kính BQ tức chắn nửa đường tròn tâm O nên góc ABQ = 90˚, vậy BQ // CF tức BQ // CH.
Từ đó suy ra tứ giác BHCQ là hình bình hành.
Câu i)
Từ câu h, ta có góc ABQ = 90˚.
Hai góc BCQ và góc BAQ cùng chắn cung BQ => góc BCQ = góc BAQ (3).
Hai góc BLA và góc BQA cùng chắn cung AB => góc BLA = góc BQA, tức góc DLB = góc BQA.
90˚ - góc DLB = 90˚ - góc BQA <=> góc DBL = góc BAQ (4).
Từ (3) và (4), suy ra: góc DBL = góc BCQ, tức góc LBC = góc QCB. Hai góc đáy của tứ giác BLQC bằng nhau, vậy tứ giác BLQC là hình thang cân.
Câu j)
Chứng minh tương tự như câu c) đối với góc FED, ta sẽ só: góc BEF = góc BED tức góc HEF = góc DEB (5).
góc HFE = 90˚ - góc AFE. Trong đó, góc AFE = góc ACB vậy <=> góc HFE = 90˚ - góc ACB ;
góc DBE = 90˚ - góc DHB. Trong đó, góc DHB = góc EHA = 90˚ - góc DAC = góc ACB vậy <=> góc DBE = 90˚ - góc ACB.
Từ đây suy ra, góc HFE = góc DBE = 90˚ - góc ACB (6).
Từ (5) và (6), ta suy ra: ∆HEF ≈ ∆DEB (g-g-g). Từ đây ta rút ra tỷ lệ: HE/DE = HF/BD tương đương HE.BD = HF.DE
phù..... ^^
