Hình học không gian 11

[thien_li]

Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng (P) song song với AB và CD, lần lượt cắt AC,BC,BD,AD tại M,N,P,Q.
a. MNPQ là hình gì?
b. TÌm vị trí M trên AC để diện tích MNPQ lớn nhất?

(Giải thích rõ tại sao M là trung điểm của AC)

 

[thien_li]

Các bác ơi giúp em với. Em gần thi rùi, mà bài kiểu này lại có trong đề thi!

 

[NguoiDien]

Cho tứ diện ABCD, mặt phẳng (P) song song với AB và CD, lần lượt cắt AC,BC,BD,AD tại M,N,P,Q.
a. MNPQ là hình gì?
b. TÌm vị trí M trên AC để diện tích MNPQ lớn nhất?

Hình vẽ:

Có một định lý về ba mặt phẳng như sau (Hai đường thẳng chéo nhau và song song trong không gian): Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy song song đôi một hoặc đồng quy.

1. Gọi mặt phẳng \[(MNPQ)\] là \[(\alpha )\] thì ta có:

Giao tuyến của \[(\alpha )\] và \[(ABC)\] là \[MN\]

Giao tuyến của \[(\alpha )\] và \[(ABD)\] là \[PQ\]

Giao tuyến của \[(ABC)\] và \[(ABD)\] là \[AB\].

Như vậy \[AB, MN, PQ\] là đôi một song song hoặc đồng quy.

Mặt khác. \[AB\in (ABC)\] và \[AB\] song song với \[(\alpha )\] nên \[AB\] song song với MN. Từ trên suy ra \[AB, MN, PQ\] đôi một song song.

Tương tự như trên ta có ngay \[MQ\] và \[NP\] song song.

Tứ giác \[MNPQ\] có cặp cạnh đối song song do đó nó là hình bình hành.

2. Ta có công thức tín diện tích \[MNPQ\] như sau:

\[S=MN.NP.\sin \widehat{MNP}\]

Do \[\widehat{MNP}\] chính là góc giữa \[MN\] và \[NP\] nên nó cũng là góc giữa \[AB\] và \[CD\]. Do đó góc này cố định và \[\sin\widehat{MNP}\] là cố định. Khi đó diện tích \[MNPQ\] là lớn nhất khi \[MN.NP\] là lớn nhất.

Gọi \[x=AM\] thì ta có:

\[CM=AC-x\]. Dễ thấy:

\[\frac{MN}{AB}=\frac{CM}{AC}=\frac{AC-x}{AC}=1-\frac{x}{AC}\]

\[\Rightarrow MN=AB(1-\frac{1}{AC}.x)\]

Tương tự, ta cũng có:

\[\frac{MQ}{CD}=\frac{AM}{AC}=\frac{x}{AC}\].

\[\Rightarrow NP=MQ=CD.\frac{1}{AC}.x\]

\[\Rightarrow MN.NP=AB.CD(-\frac{1}{AC}.x).\frac{1}{AC}.x=\frac{AB.CD}{AC}.(AC-x)x\]

Do các cạnh của tứ diện là cố định nên \[S\] lớn nhất khi và chỉ khi \[(AC-x)x\] là lớn nhất.

Ta có:

\[(AC-x)x=AC.x-x^2=-(x^2-2.\frac{AC}{2}.x+\frac{AC^2}{4})+\frac{AC^2}{4}=-(x-\frac{AC}{2})^2+\frac{AC^2}{4}\]

Rõ ràng biểu thức này lớn nhất khi và chỉ khi \[x-\frac{AC}{2}=0\] hay \[x=\frac{AC}{2}\] hay \[AM=\frac{AC}{2}\]. Nói cách khác \[M\] là trung điểm \[AC\].

 

[thien_li]

Dạ em cảm ơn rất nhiều ạ!

 

[thien_li]

Anh chị giúp em bài này nữa ạ!
Cho hình chóp SABCD đáy hình thang, đáy AD=3BC. M là trung điểm của SD. N thuộc SB sao cho NS=3NB, O là giao điểm của AC và BD.
a, Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACM) và (SBD).
b, CMR: SD song song với (CAN).
c, Gọi (P) là mặt phẳng chứa MN và song song với AC. Xác định thiết diện của hình chóp với (P).

 

[kt1996]

Anh chị giúp em bài này nữa ạ!
Cho hình chóp SABCD đáy hình thang, đáy AD=3BC. M là trung điểm của SD. N thuộc SB sao cho NS=3NB, O là giao điểm của AC và BD.
a, Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng (ACM) và (SBD).
b, CMR: SD song song với (CAN).
c, Gọi (P) là mặt phẳng chứa MN và song song với AC. Xác định thiết diện của hình chóp với (P).

View attachment 11211
a/ giao tuyến là: OM
b/ ta có:

mà

=>

Xét tam giác SBD:
Từ (1), (2):

mà