[Hình học]Đề ôn tập tuyển sinh 10

[Cozy]

Cho đường tròn (O, R) đường kính AB và một điểm M nằm trên (O) (M khác A và B). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) theo thứ tự tại C và D. OC cắt AM tại E và OD cắt MB tại F.
1) Chứng tỏ: AC + BD = CD
2) Chứng tỏ: EF \perp DB
3) Chứng tỏ: ∆COD đồng dạng ∆AMB
4) Tìm vị trí điểm M sao cho chu vi ∆COD đạt giá trị nhỏ nhất.
Sẵn tiện cho mình hỏi phương pháp giải toán cực trị hình học và tìm quỹ tích nha.
Thân

 

[bomkute1996th]

1) AC= CM;DB=DM (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

\[\Rightarrow AC+DB=CD\]

2) Dễ chứng minh:E,F lần lượt là trung điểm các cạnh AM,MB.

\[\Rightarrow EF\] là đường trung bình của \[\Delta MAB\].

\[\Rightarrow EF//AB\]

Mà \[AB\perp DB\] nên EF//DB.

3) Dễ dàng chứng minh được:\[\Delta COD\sim \Delta AMB (g.g)\].

 

[bac]

4)Từ C hạ \[CH\perp DB(H\in DB)\]

* Có:\[CD\geq CH\] (quan hệ đường xiên và hình chiếu)(1)

Tứ giác ACHB là hình chữ nhật nên CH=AB=2R

\[\Rightarrow CD\geq 2R\]

* Lại có:\[{OC}^{2}={OM}^{2}+{CM}^{2}\]

\[{OD}^{2}={OM}^{2}+{MD}^{2}\]

\[\Rightarrow {OC}^{2}+{OD}^{2}=2{R}^{2}+{CM}^{2}+{MD}^{2}\]

\[\Rightarrow {(OC+OD)}^{2}=2{R}^{2}+{CM}^{2}+{MD}^{2}+2 OC.OD\]

Vế trái \[\geq 2{R}^{2}+\frac{{(CM+MD)}^{2}}{2}+2OM.CD=2{R}^{2}+\frac{({CD}^{2})}{2}+2OM.CD=2.{(R+\frac{CD}{2})}^{2}\] \[\geq 2.{(R+\frac{CH}{2})}^{2}= 8{R}^{2}\]

\[\Rightarrow OC+OD\geq 2\sqrt{2}R\](2)

Từ (1)&(2) bạn tìm ra được chu vi nhỏ nhất của \[\Delta \] COD