Trang chủ
Bài viết mới
Diễn đàn
Bài mới trên hồ sơ
Hoạt động mới nhất
VIDEO
Mùa Tết
Văn Học Trẻ
Văn Học News
Media
New media
New comments
Search media
Đại Học
Đại cương
Chuyên ngành
Triết học
Kinh tế
KHXH & NV
Công nghệ thông tin
Khoa học kĩ thuật
Luận văn, tiểu luận
Phổ Thông
Lớp 12
Ngữ văn 12
Lớp 11
Ngữ văn 11
Lớp 10
Ngữ văn 10
LỚP 9
Ngữ văn 9
Lớp 8
Ngữ văn 8
Lớp 7
Ngữ văn 7
Lớp 6
Ngữ văn 6
Tiểu học
Thành viên
Thành viên trực tuyến
Bài mới trên hồ sơ
Tìm trong hồ sơ cá nhân
Credits
Transactions
Xu: 0
Đăng nhập
Đăng ký
Có gì mới?
Tìm kiếm
Tìm kiếm
Chỉ tìm trong tiêu đề
Bởi:
Hoạt động mới nhất
Đăng ký
Menu
Đăng nhập
Đăng ký
Install the app
Cài đặt
Chào mừng Bạn tham gia Diễn Đàn VNKienThuc.com -
Định hướng Forum
Kiến Thức
- HÃY TẠO CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC HỮU ÍCH VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN Kết nối:
VNK X
-
VNK groups
| Nhà Tài Trợ:
BhnongFood X
-
Bhnong groups
-
Đặt mua Bánh Bhnong
KIẾN THỨC PHỔ THÔNG
Trung Học Phổ Thông
TOÁN THPT
Kiến thức cơ bản Toán
Toán hoc 12
Hình 12: Bài 4: Ôn tập chương 3
JavaScript is disabled. For a better experience, please enable JavaScript in your browser before proceeding.
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
You should upgrade or use an
alternative browser
.
Trả lời chủ đề
Nội dung
<blockquote data-quote="Thandieu2" data-source="post: 150268" data-attributes="member: 1323"><p style="text-align: center"> <span style="font-size: 15px"><strong><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F">Toán 12- Nâng Cao - Chương III - Bài 4. Ôn Tập Chương III</span></span></strong></span></p> <p style="text-align: center"><span style="font-size: 15px"><strong><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"></span></span></strong></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"> <span style="font-size: 15px"><span style="color: #00289F"></span></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><span style="color: #00289F"></span><strong>Ôn Tập Chương III</strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>I - Kiến thức cần nhớ</strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>1. </strong><em>Tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm</em></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Vectơ u có tọa độ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-1.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Điểm <em>M </em>có tọa độ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-2.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Nếu điểm <em>A</em>(<em>x</em>[SUB]A[/SUB] ; <em>y</em>[SUB]A[/SUB] ; <em>z</em>[SUB]A[/SUB]) và điểm B = (<em>x</em>[SUB]B[/SUB] ; <em>y</em>[SUB]B[/SUB] ; <em>z</em>[SUB]B[/SUB]) thì</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-3.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>2. </strong><em>Tích vô hướng và tích có hướng.</em></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">Cho <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-uxy.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> và <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-vxy.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Tích vô hướng của <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> và <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-v.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> là số: <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-4.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Tích có hướng của <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> và <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-v.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> là vectơ</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-5.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">Vectơ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> vuông góc với cả <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> và <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-v.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Một số tính chất:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-7.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Diện tích hình bình hành: <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-8.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Thể tích hình hộp: <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>3. </strong><em>Phương trình mặt cầu</em>.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">Phương trình có dạng</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-10.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">với điều kiện <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-11.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />, là phương trình mặt cầu có tâm <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-12.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> và có bán kính <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-13.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>4. </strong><em>Phương trình mặt phẳng</em></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">Mặt phẳng đi qua điểm <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-14.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> với vectơ pháp tuyến <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-15.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> có phương trình:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-16.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">Phương trình</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-17.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">là phương trình của mặt phẳng có vectơpháp tuyến là <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-18.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>5. </strong><em>Phương trình đường thẳng</em></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">Cho đường thẳng <em>d </em>đi qua điểm <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-19.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> và có vectơ chỉ phương <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-20.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> Khi đó:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Phương trình tham số của <em>d</em>là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Phương trình chính tắc của <em>d </em>(khi <em>abc ≠ 0</em>) là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-21.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>6. </strong><em>Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng</em></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">Nếu (α) có phương trình <em>Ax + By + Cz + D = </em>0 và (α’)có phương trình <em>A’x + B’y + C’z + D’ = </em>0thì</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ (α) và (α’) cắt nhau khi và chỉ khi <em>A</em> : <em>B</em> : <em>C ≠ A’ :</em> <em>B’ </em>:<em> C’</em>;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-22.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ (α) và (α’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi <em>AA’ + BB’ + CC’</em> = 0.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>7. </strong><em>Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng</em></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">Nếu đường thẳng <em>d </em>đi qua điểm <em>M</em>[SUB]0[/SUB], có vectơ chỉ phương <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> và đường thẳng <em>d’ </em>đi qua điểm<em> M’</em>[SUB]0[/SUB], có vectơ chỉ phương <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> thì:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-23.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>8. </strong><em>Khoảng cách</em></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Khoảng cách giữa hai điểm <em>A</em>(<em>x</em>[SUB]A[/SUB] ; <em>y</em>[SUB]A[/SUB] ; <em>z</em>[SUB]A[/SUB]) và <em>B</em>(<em>x</em>[SUB]B[/SUB] ; <em>y</em>[SUB]B[/SUB] ; <em>z</em>[SUB]B[/SUB]) là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-24.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Khoảng cách từ điểm <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-19.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> đến mặt phẳng (α) có phương trình <em>Ax + By + Cz + D = </em>0 là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-25.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Khoảng cách từ điểm <em>M</em>[SUB]1 [/SUB]đến đường thẳng ∆ đi qua <em>M</em>[SUB]0 [/SUB]và có vectơ chỉ phương <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-26.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’, trong đó ∆ đi qua điểm <em>M</em>[SUB]0 [/SUB]và có vectơ chỉ phương <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />, còn ∆’ đi qua điểm <em>M’</em>[SUB]0 [/SUB]và có vectơ chỉ phương <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u'.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-27.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>II - Câu hỏi tự kiểm tra</strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>1. </strong>Cho biết tọa độ của hai điểm <em>A, B</em>, làm thế nào để tìm:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Tọa độ của vectơ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-AB.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Khoảng cách giữa hai điểm <em>A </em>và <em>B </em>;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Tọa độ của trung điểm đoạn thẳng <em>AB</em> ?</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>2. </strong>Cho tọa độ bốn đỉnh của một hình tứ diện, làm thế nào để tìm:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Tọa độ của trọng tâm tứ diện;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Tọa độ của tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Thể tích tứ diện;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">d) Độ dài đường cao ứng với một mặt của tứ diện?</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>3. </strong>Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để chứng minh:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Hai vectơ cùng phương;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Ba vectơ đồng phẳng;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Ba điểm thẳng hàng;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">d) Bốn điểm không đồng phẳng?</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>4. </strong>Trong mỗi trường hợp sau, hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Đi qua ba điểm không thẳng hàng;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau cho trước;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">d) Đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">e) Đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cho trước;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">g) Chứa hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">h) Đi qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>5. </strong>Trong mỗi trường hợp sau, làm thế nào để viết phương trình đường thẳng:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương cho trước;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Đi qua hai điểm phân biệt cho trước;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">d) Đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">e) Đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">g) Là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước ?</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>6. </strong>Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để xác định vị trí tương đối:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Giữa hai mặt phẳng;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Giữa hai đường thẳng ?</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>7. </strong>Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để tính khoảng cách:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Từ một điểm đến một mặt phẳng ;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Từ một điểm đến một đường thẳng ;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau ;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">d) Giữa hai đường thẳng song song ;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">e) Giữa hai mặt phẳng song song ;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">g) Giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với đường thẳng đó ?</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>8. </strong>Trong mỗi trường hợp sau, làm thế nào để xác định tọa độ của điểm:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Là hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng cho trước ;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Là hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng cho trước ;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Đối xứng với một điểm cho trước qua một mặt phẳng cho trước ?</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>III - Bài tập</strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>1. </strong>Cho bốn điểm <em>A</em>(1;6;2),<em>B</em>(4;0;6),<em>C</em>(5;0;4), <em>D</em>(5;1;3)<em>.</em></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Tính thể tích tứ diện <em>ABCD</em>.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Viết phương trình mp(<em>BCD</em>).</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">d) Viết phương trình mặt cầu tâm <em>A </em>tiếp xúc với mp(<em>BCD</em>). Tìm tọa độ tiếp điểm.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>2. </strong>Cho hai điểm <em>A</em>(1 ; -1 ; 2),<em>B</em>(3;1;1) và mặt phẳng (P): <em>x – 2</em>y + 3<em>z</em> – 5 = 0.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Tìm tọa độ điểm <em>A’</em> đối xứng với điểm <em>A </em>qua mp(P).</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Tìm góc giữa đường thẳng <em>AB</em> và mp(P).</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Viết phương trình mặt phẳng (<em>Q</em>) đi qua <em>A</em>, <em>B </em>và vuông góc với mp(P).</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">d) Tìm tọa độ giao điểm <em>I </em>của đường thẳng <em>AB</em> và mp(P). Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P), đi qua <em>I </em>và vuông góc với <em>AB</em>.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>3. </strong>Cho đường thẳng <em>d </em>và mp(P) có phương trình:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-28.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Viết phương trình đường thẳng <em>d’ </em>là hình chiếu vuông góc của <em>d </em>trên mp(P).</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Viết phương trình đường thẳng <em>d</em>[SUB]1[/SUB] là hình chiếu song song của <em>d </em>trên mp(P) theo phương <em>Oz</em>.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ <em>O</em>, cắt <em>d</em> và song song với mp(P).</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>4. </strong>Cho điểm <em>A</em> (2;3;1) và hai đường thẳng:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-29.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Viết phương trình mp(P) đi qua <em>A </em>và <em>d</em>[SUB]1[/SUB].</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Viết phương trình mp(Q) đi qua <em>A</em> và <em>d</em>[SUB]2[/SUB].</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Viết phương trình đường thẳng <em>d </em>đi qua <em>A</em>, cắt cả <em>d</em>[SUB]1[/SUB] và <em>d</em>[SUB]2[/SUB].</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">d) Tính khoảng cách từ <em>A </em>đến <em>d</em>[SUB]2[/SUB].</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>5. </strong>Cho hai đường thẳng:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-30.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tính góc giữa chúng.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Tính khoảng cách giữa <em>d </em>và <em>d’</em>.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Viết phương trình đường vuông góc chung của <em>d </em>và <em>d’.</em></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">d) Viết phương trình đường thẳng song song với <em>Oz</em>, cắt cả <em>d</em> và <em>d’</em>.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>6. </strong>Cho hai đường thẳng:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-31.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Chứng minh rằng <em>d </em>và <em>d’ </em>đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>7. </strong>Cho hai đường thẳng:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-32.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Chứng minh rằng <em>d</em>, <em>d’ </em>chéo nhau và vuông góc với nhau.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Viết phương trình mp(P) đi qua <em>d</em> và vuông góc với <em>d’</em>, phương trình mp(Q) đi qua <em>d’</em> và vuông góc với <em>d</em>.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của <em>d </em>và <em>d’</em>.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>8. </strong>Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">(<em>P</em>) : 2<em>x</em> – <em>y </em>+ <em>z</em> = 0và (<em>Q</em>) : <em>x + y + 2z – </em>1 = 0</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Viết phương trình đường thẳng <em>d</em> đi qua <em>A</em>(1;2;-3), song song với cả (P) và (Q).</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Viết phương trình mp(R) đi qua <em>B</em>(-1;3;4), vuông góc với cả (P) và (Q).</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>9. </strong>Cho mặt cầu (S) có phương trình: <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-33.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Tìm tọa độ tâm mặt cầu và tính bán kính mặt cầu.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Tùy theo giá trị của <em>k</em>, hãy xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(P) với</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">(<em>P</em>) : <em>x</em> + <em>y </em>– <em>z</em> + k = 0</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">c) Mặt cầu cắt ba trục <em>Ox, Oy, Oz </em>lần lượt tại ba điểm <em>A, B, C</em>khác với gốc tọa độ <em>O</em>. Viết phương trình mp(<em>ABC</em>).</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">d) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm <em>B.</em></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình 4<em>x</em> + 3<em>y </em>– 12<em>z</em> – 1 = 0.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>10. </strong>Cho hình lập phương <em>ABCD.A’B’C’D’ </em>có cạnh bằng 1. Trên các tia <em>AA’, AB, AD </em>(có chung gốc <em>A</em>), lần lượt lấy các điểm <em>M, N, P </em>khác <em>A </em>sao cho <em>AM = m, AN = n </em>và <em>AP = p.</em></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">a) Tìm sự liên hệ giữa <em>m, n </em>và <em>p </em>sao cho mp(<em>MNP</em>) đi qua đỉnh <em>C’ </em>của hình lập phương.</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">b) Trong trường hợp mp(<em>MNP</em>) luôn đi qua <em>C’</em>, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện <em>AMNP</em>. Khi đó tứ diện <em>AMNP </em>có tính chất gì?</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>IV - Câu hỏi trắc nghiệm</strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>1. </strong>Cho ba điểm <em>M</em>(2;0;0), <em>N</em>(0;-3;0), <em>P</em>(0;0;4). Nếu <em>MNPQ </em>là hình bình hành thì tọa độ của điểm <em>Q </em>là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">A. (-2;-3;4);</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">B. (3;4;2);</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">C. (2;3;4);</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">D. (-2;-3;-4).</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>2. </strong>Cho ba điểm <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-34.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><em>. </em>Tam giác <em>ABC </em>là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">(A). Tam giác cân đỉnh <em>A</em>;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">(B). Tam giác vuông đỉnh <em>A</em>;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">(C). Tam giác đều;</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">(D). Không phải như (A), (B), (C).</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>3. </strong>Cho tam giác <em>ABC </em>có <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-35.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ <em>C</em> là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-36.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>4. </strong>Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-37.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Diện tích của hình bình hành đó bằng</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-38.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>5. </strong>Cho <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-39.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Thể tích của tứ diện <em>ABCD</em> là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">A. 1</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">B. 2</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-40.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>6. </strong>Cho <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-41.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Độ dài đường cao của tứ diện <em>ABCD </em>kẻ từ đỉnh <em>D </em>là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">A. 3</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">B. 1</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">C. 2</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-42.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>7. </strong>Cho bốn điểm <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-43.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Tâm <em>I </em>của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện <em>ABCD</em> có tọa độ:</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-44.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">C. (3;3;3)</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">D. (3;-3;3)</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>8. </strong>Bán kính của mặt cầu tâm <em>I</em>(3;3;-4), tiếp xúc với trục <em>Oy </em>bằng</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">A. 5</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px">B. 4</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-45.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>9. </strong>Mặt cầu tâm <em>I</em> (2;1;-1), tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (<em>Oyz</em>) có phương trình là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-46.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>10. </strong>Cho ba điểm <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-47.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Mặt phẳng (<em>ABC</em>) có phương trình là</span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-48.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong></strong></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="font-size: 15px"><strong>Nguồn: SƯU TẦM</strong></span></span></p></blockquote><p></p>
[QUOTE="Thandieu2, post: 150268, member: 1323"] [CENTER] [SIZE=4][B][FONT=arial][COLOR=#00289F]Toán 12- Nâng Cao - Chương III - Bài 4. Ôn Tập Chương III [/COLOR][/FONT][/B][/SIZE][/CENTER] [FONT=arial] [SIZE=4][COLOR=#00289F] [/COLOR][B]Ôn Tập Chương III [/B] [B]I - Kiến thức cần nhớ [/B] [B]1. [/B][I]Tọa độ của vectơ và tọa độ của điểm[/I] + Vectơ u có tọa độ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-1.jpg[/IMG]. + Điểm [I]M [/I]có tọa độ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-2.jpg[/IMG]. + Nếu điểm [I]A[/I]([I]x[/I][SUB]A[/SUB] ; [I]y[/I][SUB]A[/SUB] ; [I]z[/I][SUB]A[/SUB]) và điểm B = ([I]x[/I][SUB]B[/SUB] ; [I]y[/I][SUB]B[/SUB] ; [I]z[/I][SUB]B[/SUB]) thì [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-3.jpg[/IMG] [B] 2. [/B][I]Tích vô hướng và tích có hướng.[/I] Cho [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-uxy.jpg[/IMG] và [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-vxy.jpg[/IMG]. + Tích vô hướng của [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg[/IMG] và [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-v.jpg[/IMG] là số: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-4.jpg[/IMG]. + Tích có hướng của [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg[/IMG] và [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-v.jpg[/IMG] là vectơ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-5.jpg[/IMG] Vectơ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-6.jpg[/IMG] vuông góc với cả [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg[/IMG] và [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-v.jpg[/IMG]. + Một số tính chất: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-7.jpg[/IMG] + Diện tích hình bình hành: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-8.jpg[/IMG]. + Thể tích hình hộp: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-9.jpg[/IMG] [B] 3. [/B][I]Phương trình mặt cầu[/I]. Phương trình có dạng [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-10.jpg[/IMG] với điều kiện [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-11.jpg[/IMG], là phương trình mặt cầu có tâm [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-12.jpg[/IMG] và có bán kính [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-13.jpg[/IMG]. [B] 4. [/B][I]Phương trình mặt phẳng[/I] Mặt phẳng đi qua điểm [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-14.jpg[/IMG] với vectơ pháp tuyến [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-15.jpg[/IMG] có phương trình: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-16.jpg[/IMG] Phương trình [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-17.jpg[/IMG] là phương trình của mặt phẳng có vectơpháp tuyến là [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-18.jpg[/IMG]. [B] 5. [/B][I]Phương trình đường thẳng[/I] Cho đường thẳng [I]d [/I]đi qua điểm [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-19.jpg[/IMG] và có vectơ chỉ phương [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-20.jpg[/IMG] Khi đó: + Phương trình tham số của [I]d[/I]là + Phương trình chính tắc của [I]d [/I](khi [I]abc ≠ 0[/I]) là [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-21.jpg[/IMG] [B] 6. [/B][I]Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng[/I] Nếu (α) có phương trình [I]Ax + By + Cz + D = [/I]0 và (α’)có phương trình [I]A’x + B’y + C’z + D’ = [/I]0thì + (α) và (α’) cắt nhau khi và chỉ khi [I]A[/I] : [I]B[/I] : [I]C ≠ A’ :[/I] [I]B’ [/I]:[I] C’[/I]; [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-22.jpg[/IMG] + (α) và (α’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi [I]AA’ + BB’ + CC’[/I] = 0. [B] 7. [/B][I]Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng[/I] Nếu đường thẳng [I]d [/I]đi qua điểm [I]M[/I][SUB]0[/SUB], có vectơ chỉ phương [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg[/IMG] và đường thẳng [I]d’ [/I]đi qua điểm[I] M’[/I][SUB]0[/SUB], có vectơ chỉ phương [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg[/IMG] thì: [B][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-23.jpg[/IMG] 8. [/B][I]Khoảng cách[/I] + Khoảng cách giữa hai điểm [I]A[/I]([I]x[/I][SUB]A[/SUB] ; [I]y[/I][SUB]A[/SUB] ; [I]z[/I][SUB]A[/SUB]) và [I]B[/I]([I]x[/I][SUB]B[/SUB] ; [I]y[/I][SUB]B[/SUB] ; [I]z[/I][SUB]B[/SUB]) là [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-24.jpg[/IMG] + Khoảng cách từ điểm [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-19.jpg[/IMG] đến mặt phẳng (α) có phương trình [I]Ax + By + Cz + D = [/I]0 là [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-25.jpg[/IMG] + Khoảng cách từ điểm [I]M[/I][SUB]1 [/SUB]đến đường thẳng ∆ đi qua [I]M[/I][SUB]0 [/SUB]và có vectơ chỉ phương [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg[/IMG] là [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-26.jpg[/IMG] + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’, trong đó ∆ đi qua điểm [I]M[/I][SUB]0 [/SUB]và có vectơ chỉ phương [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u.jpg[/IMG], còn ∆’ đi qua điểm [I]M’[/I][SUB]0 [/SUB]và có vectơ chỉ phương [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-u'.jpg[/IMG] là [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-27.jpg[/IMG] [B] II - Câu hỏi tự kiểm tra [/B] [B]1. [/B]Cho biết tọa độ của hai điểm [I]A, B[/I], làm thế nào để tìm: a) Tọa độ của vectơ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-AB.jpg[/IMG]; b) Khoảng cách giữa hai điểm [I]A [/I]và [I]B [/I]; c) Tọa độ của trung điểm đoạn thẳng [I]AB[/I] ? [B] 2. [/B]Cho tọa độ bốn đỉnh của một hình tứ diện, làm thế nào để tìm: a) Tọa độ của trọng tâm tứ diện; b) Tọa độ của tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện; c) Thể tích tứ diện; d) Độ dài đường cao ứng với một mặt của tứ diện? [B] 3. [/B]Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để chứng minh: a) Hai vectơ cùng phương; b) Ba vectơ đồng phẳng; c) Ba điểm thẳng hàng; d) Bốn điểm không đồng phẳng? [B] 4. [/B]Trong mỗi trường hợp sau, hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua ba điểm không thẳng hàng; b) Đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước; c) Đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng chéo nhau cho trước; d) Đi qua một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước; e) Đi qua một điểm và vuông góc với hai mặt phẳng cho trước; g) Chứa hai đường thẳng song song hoặc cắt nhau; h) Đi qua một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. [B] 5. [/B]Trong mỗi trường hợp sau, làm thế nào để viết phương trình đường thẳng: a) Đi qua một điểm và có vectơ chỉ phương cho trước; b) Đi qua hai điểm phân biệt cho trước; c) Đi qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng cho trước; d) Đi qua một điểm và song song với hai mặt phẳng cắt nhau cho trước; e) Đi qua một điểm và cắt hai đường thẳng chéo nhau cho trước; g) Là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau cho trước ? [B] 6. [/B]Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để xác định vị trí tương đối: a) Giữa hai mặt phẳng; b) Giữa hai đường thẳng ? [B] 7. [/B]Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để tính khoảng cách: a) Từ một điểm đến một mặt phẳng ; b) Từ một điểm đến một đường thẳng ; c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau ; d) Giữa hai đường thẳng song song ; e) Giữa hai mặt phẳng song song ; g) Giữa đường thẳng và mặt phẳng song song với đường thẳng đó ? [B] 8. [/B]Trong mỗi trường hợp sau, làm thế nào để xác định tọa độ của điểm: a) Là hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng cho trước ; b) Là hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng cho trước ; c) Đối xứng với một điểm cho trước qua một mặt phẳng cho trước ? [B]III - Bài tập [/B] [B]1. [/B]Cho bốn điểm [I]A[/I](1;6;2),[I]B[/I](4;0;6),[I]C[/I](5;0;4), [I]D[/I](5;1;3)[I].[/I] a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng. b) Tính thể tích tứ diện [I]ABCD[/I]. c) Viết phương trình mp([I]BCD[/I]). d) Viết phương trình mặt cầu tâm [I]A [/I]tiếp xúc với mp([I]BCD[/I]). Tìm tọa độ tiếp điểm. [B]2. [/B]Cho hai điểm [I]A[/I](1 ; -1 ; 2),[I]B[/I](3;1;1) và mặt phẳng (P): [I]x – 2[/I]y + 3[I]z[/I] – 5 = 0. a) Tìm tọa độ điểm [I]A’[/I] đối xứng với điểm [I]A [/I]qua mp(P). b) Tìm góc giữa đường thẳng [I]AB[/I] và mp(P). c) Viết phương trình mặt phẳng ([I]Q[/I]) đi qua [I]A[/I], [I]B [/I]và vuông góc với mp(P). d) Tìm tọa độ giao điểm [I]I [/I]của đường thẳng [I]AB[/I] và mp(P). Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P), đi qua [I]I [/I]và vuông góc với [I]AB[/I]. [B] 3. [/B]Cho đường thẳng [I]d [/I]và mp(P) có phương trình: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-28.jpg[/IMG] a) Viết phương trình đường thẳng [I]d’ [/I]là hình chiếu vuông góc của [I]d [/I]trên mp(P). b) Viết phương trình đường thẳng [I]d[/I][SUB]1[/SUB] là hình chiếu song song của [I]d [/I]trên mp(P) theo phương [I]Oz[/I]. c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ [I]O[/I], cắt [I]d[/I] và song song với mp(P). [B] 4. [/B]Cho điểm [I]A[/I] (2;3;1) và hai đường thẳng: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-29.jpg[/IMG] a) Viết phương trình mp(P) đi qua [I]A [/I]và [I]d[/I][SUB]1[/SUB]. b) Viết phương trình mp(Q) đi qua [I]A[/I] và [I]d[/I][SUB]2[/SUB]. c) Viết phương trình đường thẳng [I]d [/I]đi qua [I]A[/I], cắt cả [I]d[/I][SUB]1[/SUB] và [I]d[/I][SUB]2[/SUB]. d) Tính khoảng cách từ [I]A [/I]đến [I]d[/I][SUB]2[/SUB]. [B] 5. [/B]Cho hai đường thẳng: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-30.jpg[/IMG] a) Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tính góc giữa chúng. b) Tính khoảng cách giữa [I]d [/I]và [I]d’[/I]. c) Viết phương trình đường vuông góc chung của [I]d [/I]và [I]d’.[/I] d) Viết phương trình đường thẳng song song với [I]Oz[/I], cắt cả [I]d[/I] và [I]d’[/I]. [B] 6. [/B]Cho hai đường thẳng: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-31.jpg[/IMG] a) Chứng minh rằng [I]d [/I]và [I]d’ [/I]đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng. b) Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên. [B] 7. [/B]Cho hai đường thẳng: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-32.jpg[/IMG] a) Chứng minh rằng [I]d[/I], [I]d’ [/I]chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình mp(P) đi qua [I]d[/I] và vuông góc với [I]d’[/I], phương trình mp(Q) đi qua [I]d’[/I] và vuông góc với [I]d[/I]. c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của [I]d [/I]và [I]d’[/I]. [B] 8. [/B]Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình: ([I]P[/I]) : 2[I]x[/I] – [I]y [/I]+ [I]z[/I] = 0và ([I]Q[/I]) : [I]x + y + 2z – [/I]1 = 0 a) Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó. b) Viết phương trình đường thẳng [I]d[/I] đi qua [I]A[/I](1;2;-3), song song với cả (P) và (Q). c) Viết phương trình mp(R) đi qua [I]B[/I](-1;3;4), vuông góc với cả (P) và (Q). [B]9. [/B]Cho mặt cầu (S) có phương trình: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-33.jpg[/IMG]. a) Tìm tọa độ tâm mặt cầu và tính bán kính mặt cầu. b) Tùy theo giá trị của [I]k[/I], hãy xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(P) với ([I]P[/I]) : [I]x[/I] + [I]y [/I]– [I]z[/I] + k = 0 c) Mặt cầu cắt ba trục [I]Ox, Oy, Oz [/I]lần lượt tại ba điểm [I]A, B, C[/I]khác với gốc tọa độ [I]O[/I]. Viết phương trình mp([I]ABC[/I]). d) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm [I]B.[/I] e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình 4[I]x[/I] + 3[I]y [/I]– 12[I]z[/I] – 1 = 0. [B] 10. [/B]Cho hình lập phương [I]ABCD.A’B’C’D’ [/I]có cạnh bằng 1. Trên các tia [I]AA’, AB, AD [/I](có chung gốc [I]A[/I]), lần lượt lấy các điểm [I]M, N, P [/I]khác [I]A [/I]sao cho [I]AM = m, AN = n [/I]và [I]AP = p.[/I] a) Tìm sự liên hệ giữa [I]m, n [/I]và [I]p [/I]sao cho mp([I]MNP[/I]) đi qua đỉnh [I]C’ [/I]của hình lập phương. b) Trong trường hợp mp([I]MNP[/I]) luôn đi qua [I]C’[/I], hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện [I]AMNP[/I]. Khi đó tứ diện [I]AMNP [/I]có tính chất gì? [B] IV - Câu hỏi trắc nghiệm[/B] [B]1. [/B]Cho ba điểm [I]M[/I](2;0;0), [I]N[/I](0;-3;0), [I]P[/I](0;0;4). Nếu [I]MNPQ [/I]là hình bình hành thì tọa độ của điểm [I]Q [/I]là A. (-2;-3;4); B. (3;4;2); C. (2;3;4); D. (-2;-3;-4). [B] 2. [/B]Cho ba điểm [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-34.jpg[/IMG][I]. [/I]Tam giác [I]ABC [/I]là (A). Tam giác cân đỉnh [I]A[/I]; (B). Tam giác vuông đỉnh [I]A[/I]; (C). Tam giác đều; (D). Không phải như (A), (B), (C). [B] 3. [/B]Cho tam giác [I]ABC [/I]có [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-35.jpg[/IMG]. Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ [I]C[/I] là [B][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-36.jpg[/IMG][/B] [B] 4. [/B]Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-37.jpg[/IMG]. Diện tích của hình bình hành đó bằng [B][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-38.jpg[/IMG] 5. [/B]Cho [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-39.jpg[/IMG]. Thể tích của tứ diện [I]ABCD[/I] là A. 1 B. 2 [B][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-40.jpg[/IMG] 6. [/B]Cho [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-41.jpg[/IMG]. Độ dài đường cao của tứ diện [I]ABCD [/I]kẻ từ đỉnh [I]D [/I]là A. 3 B. 1 C. 2 [B][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-42.jpg[/IMG] 7. [/B]Cho bốn điểm [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-43.jpg[/IMG]. Tâm [I]I [/I]của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện [I]ABCD[/I] có tọa độ: [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-44.jpg[/IMG] C. (3;3;3) D. (3;-3;3) [B] 8. [/B]Bán kính của mặt cầu tâm [I]I[/I](3;3;-4), tiếp xúc với trục [I]Oy [/I]bằng A. 5 B. 4 [B][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-45.jpg[/IMG] 9. [/B]Mặt cầu tâm [I]I[/I] (2;1;-1), tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ ([I]Oyz[/I]) có phương trình là [B][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-46.jpg[/IMG] 10. [/B]Cho ba điểm [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-47.jpg[/IMG]. Mặt phẳng ([I]ABC[/I]) có phương trình là [B][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong3-bai4/Toan-12-48.jpg[/IMG] [/B] [B]Nguồn: SƯU TẦM[/B][/SIZE][/FONT] [/QUOTE]
Tên
Mã xác nhận
Gửi trả lời
KIẾN THỨC PHỔ THÔNG
Trung Học Phổ Thông
TOÁN THPT
Kiến thức cơ bản Toán
Toán hoc 12
Hình 12: Bài 4: Ôn tập chương 3
Top
