Trang chủ
Bài viết mới
Diễn đàn
Bài mới trên hồ sơ
Hoạt động mới nhất
VIDEO
Mùa Tết
Văn Học Trẻ
Văn Học News
Media
New media
New comments
Search media
Đại Học
Đại cương
Chuyên ngành
Triết học
Kinh tế
KHXH & NV
Công nghệ thông tin
Khoa học kĩ thuật
Luận văn, tiểu luận
Phổ Thông
Lớp 12
Ngữ văn 12
Lớp 11
Ngữ văn 11
Lớp 10
Ngữ văn 10
LỚP 9
Ngữ văn 9
Lớp 8
Ngữ văn 8
Lớp 7
Ngữ văn 7
Lớp 6
Ngữ văn 6
Tiểu học
Thành viên
Thành viên trực tuyến
Bài mới trên hồ sơ
Tìm trong hồ sơ cá nhân
Credits
Transactions
Xu: 0
Đăng nhập
Đăng ký
Có gì mới?
Tìm kiếm
Tìm kiếm
Chỉ tìm trong tiêu đề
Bởi:
Hoạt động mới nhất
Đăng ký
Menu
Đăng nhập
Đăng ký
Install the app
Cài đặt
Chào mừng Bạn tham gia Diễn Đàn VNKienThuc.com -
Định hướng Forum
Kiến Thức
- HÃY TẠO CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC HỮU ÍCH VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN Kết nối:
VNK X
-
VNK groups
| Nhà Tài Trợ:
BhnongFood X
-
Bhnong groups
-
Đặt mua Bánh Bhnong
KIẾN THỨC PHỔ THÔNG
Trung Học Phổ Thông
TOÁN THPT
Kiến thức cơ bản Toán
Toán hoc 12
Hình 12: Bài 3: Mặt trụ, hình trụ và khối trụ
JavaScript is disabled. For a better experience, please enable JavaScript in your browser before proceeding.
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
You should upgrade or use an
alternative browser
.
Trả lời chủ đề
Nội dung
<blockquote data-quote="Thandieu2" data-source="post: 150239" data-attributes="member: 1323"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"> <span style="font-size: 15px"><strong>Toán 12- Nâng Cao - Chương II - Bài 3. MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ</strong></span></span></span></p> <p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"></span><strong>§3 MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ</strong></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>1. Định nghĩa mặt trụ</strong></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Cho đường thẳng ∆. Xét một đường thẳng <em>l</em> song song với ∆, cách ∆ một khoảng <em>R</em> (h.42).</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh42.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Hình 42</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh </em>∆ <em>được gọi là <strong>mặt trụ tròn xoay </strong>(hoặc đơn giản là <strong>mặt trụ</strong>).</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">∆ gọi là <em>trục</em> của mặt trụ, <em>l</em> gọi là <em>đường sinh</em> của mặt trụ <em>R</em> gọi là <em>bán kính</em> của mặt trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Chúng ta dễ dàng nhận thấy :</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">a) Mặt trụ nói trên là tập hợp tất cả các điểm <em>M</em> cách đường thẳng ∆ cố định một khoảng <em>R</em> không đổi.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">b) Nếu <em>M[SUB]1[/SUB] </em>là một điểm bất kì nằm trên mặt trụ thì đường thẳng <em>l[SUB]1[/SUB]</em> đi qua <em>M[SUB]1[/SUB]</em> và song song với ∆ cũng nằm trên mặt trụ đó (vì mọi điểm của<em>l[SUB]1[/SUB]</em> đều cách ∆ một khoảng <em>R</em>). Như vậy, có thể xem mặt trụ sinh bởi đường thẳng <em>l[SUB]1[/SUB]</em>, nói cách khác, đường thẳng <em>l[SUB]1[/SUB]</em> cũng là một đường sinh của mặt trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Cho mặt trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> có trục ∆ và bán kính <em>R</em>. Giao của mặt trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />và mặt phẳng (<em>P</em>) là hình gì trong các trường hợp sau đây ?</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">a) Mặt phẳng (<em>P</em>) đi qua ∆.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">b) Mặt phẳng (<em>P</em>) song song với ∆.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">c) Mặt phẳng (<em>P</em>) vuông góc với ∆.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>2. Hình trụ và khối trụ</strong></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Các mặt trục <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> trục ∆, bán kính <em>R</em> bởi hai mặt phẳng phân biệt (<em>P</em>) và (<em>P[SUP]’[/SUP]</em>) cùng vuông góc với ∆, ta được giao truyến là hai đường tròn (<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />) và (<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong><em>[SUP]’[/SUP]</em></strong>) (h.43).</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh43.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Hình 43</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Phần mặt trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em><em>nằm giữa hai mặt phẳng </em><em>(P) và (P[SUP]’[/SUP]) cùng với hai hình tròn xác định bởi (<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em><em>) và (<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em><em>) được gọi là <strong>hình trụ</strong>.</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Hai đường tròn (<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />) và (<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />) gọi là hai <em>đường tròn đáy</em>, hai đường tròn xác định bởi chúng gọi là hai <em>mặt đáy</em> của hình trụ, bán kính của chúng (bằng <em>R</em>) gọi là <em>bán kính </em>của hình trụ. Khoảng cách giữa hai mặt đáy gọi là <em>chiều cao </em>của hình trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Nếu gọi <em>O</em> và <em>O[SUP]’[/SUP]</em> là tâm của hai hình tròn đáy thì đoạn thẳng <em>OO[SUP]’[/SUP] </em>(nằm trên ∆) gọi là <em>trục</em> của hình trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy gọi là <em>mặt xung quanh </em>của hình trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Với mỗi điểm <em>M</em> ∈ (<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />), có một điểm <em>M[SUP]’[/SUP]</em>∈ (<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong><em>[SUP]’[/SUP]</em></strong>) sao cho <em>MM[SUP]’[/SUP]</em><strong><em>//</em></strong><em>OO[SUP]’[/SUP]</em>. Hiển nhiên với đoạn thẳng <em>MM[SUP]’[/SUP]</em> nằm trên mặt phẳng xung quanh của hình trụ, có độ dài bằng chiều cao của hình trụ. Các đoạn thẳng như vậy gọi là <em>đường sinh</em> của hình trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Ta cũng dễ thấy rằng mỗi hình trụ phân chia không gian thành hai phần, phần bên trong hình trụ và phần bên ngoài hình trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là <strong>khối trụ</strong></em>.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>Ví dụ 1.</strong> <em>Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đườngtròn đáy, các cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình trụ. Tính cạnh của hai hình vuông đó.</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Giải</em></strong> (h.44). Gọi <em>C[SUP]’[/SUP]</em> là hình chiếu của <em>C</em> trên mặt đáy chứa <em>AB</em> thì <em>AB</em>⊥<em>BC[SUP]’[/SUP]</em>(vì <em>AB</em>⊥<em>BC</em>). Vậy <em>AC[SUP]’[/SUP]</em> là đường kính của đường tròn đáy hay <em>AC[SUP]’[/SUP]=</em>2<em>R.</em>Từ các tam giác vuông <em>ABC[SUP]’ [/SUP]</em>và <em>CBC[SUP]’[/SUP],</em> ta có</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>BC[SUP]’2 [/SUP]= AC[SUP]’2[/SUP]- AB[SUP]2 [/SUP]= </em>4<em>R[SUP]2 [/SUP]- AB[SUP]2[/SUP] ;</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>BC[SUP]’2 [/SUP]= BC[SUP]2[/SUP]- CC[SUP]’2 [/SUP]= AB[SUP]2 [/SUP]- R[SUP]2[/SUP].</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-1.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh44.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Hình 44</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>3. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ</strong></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Một hình lăng trụ gọi là <em>nội tiếp</em> một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ <em>ngoại tiếp</em> hình lăng trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Ta có định nghĩa :</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Diện tích xung quanh</em></strong><em> của hình trụ là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Thể tích </em></strong><em>của khối trụ (còn gọi là thể tích của hình trụ) là giới hạn của thể tích của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Cho hình trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />có chiều cao <em>h</em> và bán kính <em>R</em>. Giả sử <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> là một hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> (h.45). Gọi <em>S</em> là diện tích xung quanh của hình lăng trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> và <em>V </em>là thể tích của khối lăng trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh45.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Hình 45</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Ta biết rằng <em>S=p.h,</em> trong đó <em>p</em> là chu vi đáy của lăng trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />, và <em>V=S</em><em>[SUB]đáy[/SUB]</em><em>.h,</em> trong đó <em>S[SUB]đáy[/SUB] </em>là diện tích đáycủa hình lăng trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Ta lại biết rằng khi số cạnh đáy của hình lăng trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> tăng lên vô hạn thì chu vi và diện tích <em>S</em><em>[SUB]đáy [/SUB]</em>lần lượt có giới hạn là chu vi và diện tích của hình tròn đáy của hình trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Vậy ta có :</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Thể tích của khối trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>Ví dụ 2.</strong><em> Cho hình trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em><em>có bán kính R, trục OO[SUP]’[/SUP] bằng 2R và mặt cầu (S) có đường kính OO[SUP]’[/SUP] (h.46).</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>a) Hãy so sánh diện tích của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>b) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ (diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy của nó).</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>c) Hãy so sánh thể tích của khối trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em><em>và khối cầu (S).</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh46.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Hình 46</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Giải</em></strong></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">a) Dễ thấy rằng diện tích của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng nhau và bằng 4π<em>R[SUP]2[/SUP].</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">b) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng 4π<em>R[SUP]2 [/SUP]+</em>4π<em>R[SUP]2 [/SUP]= </em>8π<em>R[SUP]2[/SUP].</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Vậy diện tích mặt cầu bằng <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-3.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> diện tích toàn phần của hình trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">c) Thể tích của khối cầu là <em>V[SUB](S)[/SUB]= <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-2.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em>π<em>R[SUP]3[/SUP].</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Thể tích của khối trụ là <em>V</em><strong>[SUB]T[/SUB]</strong><em>=</em> π<em>R[SUP]2[/SUP].2R=2</em>π<em>R[SUP]3[/SUP].</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Vậy thể tích của khối cầu bằng <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-3.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> thể tích của khối trụ. ¢</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>Em hãy làm thử!</strong></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Cắt mặt xung quanh của hình trụ (tức hình trụ bỏ đi hai đáy) theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh <em>l</em> và cạnh kia bằng chu vi đường tròn đáy. Khi đó, diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ (h.47).</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh47.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Hình 47</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>Bài đọc thêm</strong></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>GIAO TUYẾN ELIP CỦA MẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ MẶT PHẲNG</strong></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Cho mặt phẳng tròn xoay <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />có trục là ∆ và bán kính <em>R</em>. Xét giao của <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />với một mp(α).</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Ta biết rằng :</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">- Nếu (α) vuông góc với ∆ thì giao là một đường tròn có bán kính <em>R</em>.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">- Nếu (α) song song với ∆ thì giao có thể là hai đường sinh, một đường sinh hoặc là tập rỗng.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Bây giờ, giả sử (α) là mặt phẳng cắt ∆ nhưng không vuông góc với ∆ (h.48). Ta hãy xem giao của (α) và <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> là hình gì ?</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em><img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh48.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>Hình 48</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Ta hãy lấy một mặt cầu bán kính <em>R</em> bỏ vào mặt trụ từ trên xuống cho đến khi nó dừng lại vì tiếp xúc với mp(α). Như vậy là ta có mặt cầu<em>S</em>(<em>O[SUB]1[/SUB] ; R</em>) tiếp xúc với mọi đường sinh của mặt trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />và tiếp xúc vớimp(α) tại điểm <em>F[SUB]1[/SUB]</em>. Hiển nhiên các tiếp điểm của mặt cầu <em>S</em>(<em>O[SUB]1[/SUB] ; R</em>) với các đường sinh luôn nằm trên đường tròn (<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong><em>[SUP]’[/SUP][SUB]1[/SUB]</em></strong>) là giao tuyến của mặt trụ với mp(<em>P</em>) vuông góc với ∆ tại <em>O[SUB]1[/SUB]</em>. Tương tự, ta lấy một mặt cầu khác cũng có bán kính <em>R</em> để vào trong mặt trụ từ phía dưới và đẩy lên cho nó tiếp xúc với mp(α). Như vậy ta có mặt cầu <em>S</em>(<em>O[SUB]2[/SUB] ; R</em>) tiếp xúc với mọi đường sinh của <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> và tiếp xúc với mp(α) tại điếp <em>F[SUB]2[/SUB].</em> Các tiếp điểm của mặt cầu này với các đường sinh luôn nằm trên đường tròn (<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong><em>[SUP]’[/SUP][SUB]2[/SUB]</em></strong> ) là giao tuyến của mặt trụ <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />với mp(<em>P[SUB]2[/SUB]</em>) vuông góc với ∆ tại <em>O[SUB]2[/SUB].</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Giả sử <em>M</em> là một điểm thuộc (α)∩<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> . Vì <em>M</em>nằm trên (α) nên <em>MF[SUB]1[/SUB]</em> tiếp xúc với mặt cầu <em>S</em>(<em>O[SUB]1[/SUB] ; R</em>) tại <em>F[SUB]1[/SUB]</em> và <em>MF[SUB]2[/SUB]</em> tiếp xúc với mặt cầu <em>S</em>(<em>O[SUB]2[/SUB] ; R</em>) tại <em>F[SUB]2[/SUB]</em>. Vì <em>M</em> nằm trên <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />nên có đường sinh của <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />đi qua <em>M</em>. Giả sử đường sinh đó cắt các đường tròn(<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong><em>[SUP]’[/SUP][SUB]1[/SUB]</em></strong>) và (<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong><em>[SUB]2[/SUB]</em></strong>) lần lượt tại <em>M[SUB]1[/SUB] </em>và<em> M[SUB]2[/SUB] </em>thì<em>MM[SUB]1 [/SUB]</em>và <em>MM[SUB]2[/SUB]</em> lần lượt là tiếp tuyến của mặt cầu <em>S</em>(<em>O[SUB]1[/SUB] ; R</em>) và <em>S</em>(<em>O[SUB]2[/SUB] ; R</em>) . Từ đó ta có <em>MF[SUB]1[/SUB]=MM[SUB]1[/SUB] </em>và <em>MF[SUB]2[/SUB]=MM[SUB]2[/SUB], </em>do đó</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><em>MF[SUB]1[/SUB]+MF[SUB]2[/SUB]=MM[SUB]1[/SUB]+MM[SUB]2[/SUB]=M[SUB]1[/SUB]M[SUB]2[/SUB]=O[SUB]1[/SUB]O[SUB]2.[/SUB]</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Như vậy, (α)∩<img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> là đường elip nằm trên (α), có các tiêu điểm <em>F[SUB]1[/SUB], F[SUB]2[/SUB]</em> và độ dài trục lớn bằng <em>O[SUB]1[/SUB]O[SUB]2[/SUB].</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">Tóm lại : <em>Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng cắt trục và không vuông góc với trục của mặt trụ thì giao tuyến là một đường elip.</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>Câu hỏi và bài tập</strong></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>11.</strong> Chứng minh rằng hình tròn xoay có vô số mặt phẳng đối xứng.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>12.</strong> Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên hình tròn xoay :</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">a) Sinh bởi ba cạnh của một hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư ;</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">b) Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>13. </strong>Cho đường tròn (<em>O ; R</em>) nằm trong mặt phẳng (<em>P</em>). Tìm tập hợp các điểm <em>M</em> trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên (<em>P</em>) luôn nằm trên đường tròn đã cho.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>14.</strong> Chứng minh các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>15.</strong> Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2<em>R</em>.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">b) Tính thể tich của khối trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>16.</strong> Một hình trụ có bán kình <em>R</em> và chiều cao <em>R <img src="https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-4.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</em></span></p><p><span style="font-family: 'arial'">a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'">b) Cho điểm <em>A </em>và <em>B</em> lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa <em>AB</em> và trục của hình trụ bằng 30[SUP]o[/SUP]. Tính khoảng cách giữa<em>AB</em> và trục của hình trụ.</span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><strong>Nguồn: SƯU TẦM</strong></span></p></blockquote><p></p>
[QUOTE="Thandieu2, post: 150239, member: 1323"] [CENTER][FONT=arial][COLOR=#00289F] [SIZE=4][B]Toán 12- Nâng Cao - Chương II - Bài 3. MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ[/B][/SIZE] [/COLOR][/FONT][/CENTER] [FONT=arial][COLOR=#00289F] [/COLOR][B]§3 MẶT TRỤ, HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ[/B] [B]1. Định nghĩa mặt trụ[/B] Cho đường thẳng ∆. Xét một đường thẳng [I]l[/I] song song với ∆, cách ∆ một khoảng [I]R[/I] (h.42). [I][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh42.jpg[/IMG] Hình 42[/I] [I]Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế khi quay quanh [/I]∆ [I]được gọi là [B]mặt trụ tròn xoay [/B](hoặc đơn giản là [B]mặt trụ[/B]).[/I] ∆ gọi là [I]trục[/I] của mặt trụ, [I]l[/I] gọi là [I]đường sinh[/I] của mặt trụ [I]R[/I] gọi là [I]bán kính[/I] của mặt trụ. Chúng ta dễ dàng nhận thấy : a) Mặt trụ nói trên là tập hợp tất cả các điểm [I]M[/I] cách đường thẳng ∆ cố định một khoảng [I]R[/I] không đổi. b) Nếu [I]M[SUB]1[/SUB] [/I]là một điểm bất kì nằm trên mặt trụ thì đường thẳng [I]l[SUB]1[/SUB][/I] đi qua [I]M[SUB]1[/SUB][/I] và song song với ∆ cũng nằm trên mặt trụ đó (vì mọi điểm của[I]l[SUB]1[/SUB][/I] đều cách ∆ một khoảng [I]R[/I]). Như vậy, có thể xem mặt trụ sinh bởi đường thẳng [I]l[SUB]1[/SUB][/I], nói cách khác, đường thẳng [I]l[SUB]1[/SUB][/I] cũng là một đường sinh của mặt trụ. Cho mặt trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG] có trục ∆ và bán kính [I]R[/I]. Giao của mặt trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG]và mặt phẳng ([I]P[/I]) là hình gì trong các trường hợp sau đây ? a) Mặt phẳng ([I]P[/I]) đi qua ∆. b) Mặt phẳng ([I]P[/I]) song song với ∆. c) Mặt phẳng ([I]P[/I]) vuông góc với ∆. [B]2. Hình trụ và khối trụ[/B] Các mặt trục [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG] trục ∆, bán kính [I]R[/I] bởi hai mặt phẳng phân biệt ([I]P[/I]) và ([I]P[SUP]’[/SUP][/I]) cùng vuông góc với ∆, ta được giao truyến là hai đường tròn ([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG]) và ([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG][B][I][SUP]’[/SUP][/I][/B]) (h.43). [I][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh43.jpg[/IMG] Hình 43[/I] [I]Phần mặt trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG][/I][I]nằm giữa hai mặt phẳng [/I][I](P) và (P[SUP]’[/SUP]) cùng với hai hình tròn xác định bởi ([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG][/I][I]) và ([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG][/I][I]) được gọi là [B]hình trụ[/B].[/I] Hai đường tròn ([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG]) và ([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG]) gọi là hai [I]đường tròn đáy[/I], hai đường tròn xác định bởi chúng gọi là hai [I]mặt đáy[/I] của hình trụ, bán kính của chúng (bằng [I]R[/I]) gọi là [I]bán kính [/I]của hình trụ. Khoảng cách giữa hai mặt đáy gọi là [I]chiều cao [/I]của hình trụ. Nếu gọi [I]O[/I] và [I]O[SUP]’[/SUP][/I] là tâm của hai hình tròn đáy thì đoạn thẳng [I]OO[SUP]’[/SUP] [/I](nằm trên ∆) gọi là [I]trục[/I] của hình trụ. Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy gọi là [I]mặt xung quanh [/I]của hình trụ. Với mỗi điểm [I]M[/I] ∈ ([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG]), có một điểm [I]M[SUP]’[/SUP][/I]∈ ([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG][B][I][SUP]’[/SUP][/I][/B]) sao cho [I]MM[SUP]’[/SUP][/I][B][I]//[/I][/B][I]OO[SUP]’[/SUP][/I]. Hiển nhiên với đoạn thẳng [I]MM[SUP]’[/SUP][/I] nằm trên mặt phẳng xung quanh của hình trụ, có độ dài bằng chiều cao của hình trụ. Các đoạn thẳng như vậy gọi là [I]đường sinh[/I] của hình trụ. Ta cũng dễ thấy rằng mỗi hình trụ phân chia không gian thành hai phần, phần bên trong hình trụ và phần bên ngoài hình trụ. [I]Hình trụ cùng với phần bên trong của nó được gọi là [B]khối trụ[/B][/I]. [B]Ví dụ 1.[/B] [I]Cho hình trụ có bán kính R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đườngtròn đáy, các cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình trụ. Tính cạnh của hai hình vuông đó.[/I] [B][I]Giải[/I][/B] (h.44). Gọi [I]C[SUP]’[/SUP][/I] là hình chiếu của [I]C[/I] trên mặt đáy chứa [I]AB[/I] thì [I]AB[/I]⊥[I]BC[SUP]’[/SUP][/I](vì [I]AB[/I]⊥[I]BC[/I]). Vậy [I]AC[SUP]’[/SUP][/I] là đường kính của đường tròn đáy hay [I]AC[SUP]’[/SUP]=[/I]2[I]R.[/I]Từ các tam giác vuông [I]ABC[SUP]’ [/SUP][/I]và [I]CBC[SUP]’[/SUP],[/I] ta có [I]BC[SUP]’2 [/SUP]= AC[SUP]’2[/SUP]- AB[SUP]2 [/SUP]= [/I]4[I]R[SUP]2 [/SUP]- AB[SUP]2[/SUP] ;[/I] [I]BC[SUP]’2 [/SUP]= BC[SUP]2[/SUP]- CC[SUP]’2 [/SUP]= AB[SUP]2 [/SUP]- R[SUP]2[/SUP].[/I] [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-1.jpg[/IMG] [I][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh44.jpg[/IMG] Hình 44[/I] [B]3. Diện tích hình trụ và thể tích khối trụ[/B] Một hình lăng trụ gọi là [I]nội tiếp[/I] một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ [I]ngoại tiếp[/I] hình lăng trụ. Ta có định nghĩa : [B][I]Diện tích xung quanh[/I][/B][I] của hình trụ là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.[/I] [B][I]Thể tích [/I][/B][I]của khối trụ (còn gọi là thể tích của hình trụ) là giới hạn của thể tích của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.[/I] Cho hình trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG]có chiều cao [I]h[/I] và bán kính [I]R[/I]. Giả sử [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg[/IMG] là một hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG] (h.45). Gọi [I]S[/I] là diện tích xung quanh của hình lăng trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg[/IMG] và [I]V [/I]là thể tích của khối lăng trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg[/IMG]. [I][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh45.jpg[/IMG] Hình 45[/I] Ta biết rằng [I]S=p.h,[/I] trong đó [I]p[/I] là chu vi đáy của lăng trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg[/IMG], và [I]V=S[/I][I][SUB]đáy[/SUB][/I][I].h,[/I] trong đó [I]S[SUB]đáy[/SUB] [/I]là diện tích đáycủa hình lăng trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg[/IMG]. Ta lại biết rằng khi số cạnh đáy của hình lăng trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-h.jpg[/IMG] tăng lên vô hạn thì chu vi và diện tích [I]S[/I][I][SUB]đáy [/SUB][/I]lần lượt có giới hạn là chu vi và diện tích của hình tròn đáy của hình trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG]. Vậy ta có : [I]Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao.[/I] [I]Thể tích của khối trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.[/I] [B]Ví dụ 2.[/B][I] Cho hình trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG][/I][I]có bán kính R, trục OO[SUP]’[/SUP] bằng 2R và mặt cầu (S) có đường kính OO[SUP]’[/SUP] (h.46).[/I] [I]a) Hãy so sánh diện tích của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ.[/I] [I]b) Hãy so sánh diện tích mặt cầu và diện tích toàn phần của hình trụ (diện tích toàn phần của hình trụ là tổng diện tích xung quanh và diện tích hai đáy của nó).[/I] [I]c) Hãy so sánh thể tích của khối trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG][/I][I]và khối cầu (S).[/I] [I][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh46.jpg[/IMG][/I] [I]Hình 46[/I] [B][I]Giải[/I][/B] a) Dễ thấy rằng diện tích của mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng nhau và bằng 4π[I]R[SUP]2[/SUP].[/I] b) Diện tích toàn phần của hình trụ bằng 4π[I]R[SUP]2 [/SUP]+[/I]4π[I]R[SUP]2 [/SUP]= [/I]8π[I]R[SUP]2[/SUP].[/I] Vậy diện tích mặt cầu bằng [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-3.jpg[/IMG] diện tích toàn phần của hình trụ. c) Thể tích của khối cầu là [I]V[SUB](S)[/SUB]= [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-2.jpg[/IMG][/I]π[I]R[SUP]3[/SUP].[/I] Thể tích của khối trụ là [I]V[/I][B][SUB]T[/SUB][/B][I]=[/I] π[I]R[SUP]2[/SUP].2R=2[/I]π[I]R[SUP]3[/SUP].[/I] Vậy thể tích của khối cầu bằng [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-3.jpg[/IMG] thể tích của khối trụ. ¢ [B]Em hãy làm thử![/B] Cắt mặt xung quanh của hình trụ (tức hình trụ bỏ đi hai đáy) theo một đường sinh rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh [I]l[/I] và cạnh kia bằng chu vi đường tròn đáy. Khi đó, diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ (h.47). [I][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh47.jpg[/IMG] Hình 47[/I] [B]Bài đọc thêm[/B] [B]GIAO TUYẾN ELIP CỦA MẶT TRỤ TRÒN XOAY VÀ MẶT PHẲNG[/B] Cho mặt phẳng tròn xoay [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG]có trục là ∆ và bán kính [I]R[/I]. Xét giao của [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG]với một mp(α). Ta biết rằng : - Nếu (α) vuông góc với ∆ thì giao là một đường tròn có bán kính [I]R[/I]. - Nếu (α) song song với ∆ thì giao có thể là hai đường sinh, một đường sinh hoặc là tập rỗng. Bây giờ, giả sử (α) là mặt phẳng cắt ∆ nhưng không vuông góc với ∆ (h.48). Ta hãy xem giao của (α) và [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG] là hình gì ? [I][IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-hinh48.jpg[/IMG] Hình 48[/I] Ta hãy lấy một mặt cầu bán kính [I]R[/I] bỏ vào mặt trụ từ trên xuống cho đến khi nó dừng lại vì tiếp xúc với mp(α). Như vậy là ta có mặt cầu[I]S[/I]([I]O[SUB]1[/SUB] ; R[/I]) tiếp xúc với mọi đường sinh của mặt trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG]và tiếp xúc vớimp(α) tại điểm [I]F[SUB]1[/SUB][/I]. Hiển nhiên các tiếp điểm của mặt cầu [I]S[/I]([I]O[SUB]1[/SUB] ; R[/I]) với các đường sinh luôn nằm trên đường tròn ([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG][B][I][SUP]’[/SUP][SUB]1[/SUB][/I][/B]) là giao tuyến của mặt trụ với mp([I]P[/I]) vuông góc với ∆ tại [I]O[SUB]1[/SUB][/I]. Tương tự, ta lấy một mặt cầu khác cũng có bán kính [I]R[/I] để vào trong mặt trụ từ phía dưới và đẩy lên cho nó tiếp xúc với mp(α). Như vậy ta có mặt cầu [I]S[/I]([I]O[SUB]2[/SUB] ; R[/I]) tiếp xúc với mọi đường sinh của [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG] và tiếp xúc với mp(α) tại điếp [I]F[SUB]2[/SUB].[/I] Các tiếp điểm của mặt cầu này với các đường sinh luôn nằm trên đường tròn ([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG][B][I][SUP]’[/SUP][SUB]2[/SUB][/I][/B] ) là giao tuyến của mặt trụ [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG]với mp([I]P[SUB]2[/SUB][/I]) vuông góc với ∆ tại [I]O[SUB]2[/SUB].[/I] Giả sử [I]M[/I] là một điểm thuộc (α)∩[IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG] . Vì [I]M[/I]nằm trên (α) nên [I]MF[SUB]1[/SUB][/I] tiếp xúc với mặt cầu [I]S[/I]([I]O[SUB]1[/SUB] ; R[/I]) tại [I]F[SUB]1[/SUB][/I] và [I]MF[SUB]2[/SUB][/I] tiếp xúc với mặt cầu [I]S[/I]([I]O[SUB]2[/SUB] ; R[/I]) tại [I]F[SUB]2[/SUB][/I]. Vì [I]M[/I] nằm trên [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG]nên có đường sinh của [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG]đi qua [I]M[/I]. Giả sử đường sinh đó cắt các đường tròn([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG][B][I][SUP]’[/SUP][SUB]1[/SUB][/I][/B]) và ([IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-c.jpg[/IMG][B][I][SUB]2[/SUB][/I][/B]) lần lượt tại [I]M[SUB]1[/SUB] [/I]và[I] M[SUB]2[/SUB] [/I]thì[I]MM[SUB]1 [/SUB][/I]và [I]MM[SUB]2[/SUB][/I] lần lượt là tiếp tuyến của mặt cầu [I]S[/I]([I]O[SUB]1[/SUB] ; R[/I]) và [I]S[/I]([I]O[SUB]2[/SUB] ; R[/I]) . Từ đó ta có [I]MF[SUB]1[/SUB]=MM[SUB]1[/SUB] [/I]và [I]MF[SUB]2[/SUB]=MM[SUB]2[/SUB], [/I]do đó [I]MF[SUB]1[/SUB]+MF[SUB]2[/SUB]=MM[SUB]1[/SUB]+MM[SUB]2[/SUB]=M[SUB]1[/SUB]M[SUB]2[/SUB]=O[SUB]1[/SUB]O[SUB]2.[/SUB][/I] Như vậy, (α)∩[IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-t.jpg[/IMG] là đường elip nằm trên (α), có các tiêu điểm [I]F[SUB]1[/SUB], F[SUB]2[/SUB][/I] và độ dài trục lớn bằng [I]O[SUB]1[/SUB]O[SUB]2[/SUB].[/I] Tóm lại : [I]Nếu cắt mặt trụ tròn xoay bởi một mặt phẳng cắt trục và không vuông góc với trục của mặt trụ thì giao tuyến là một đường elip.[/I] [B]Câu hỏi và bài tập[/B] [B]11.[/B] Chứng minh rằng hình tròn xoay có vô số mặt phẳng đối xứng. [B]12.[/B] Trong mỗi trường hợp sau, gọi tên hình tròn xoay : a) Sinh bởi ba cạnh của một hình chữ nhật khi quay quanh đường thẳng chứa cạnh thứ tư ; b) Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh. [B]13. [/B]Cho đường tròn ([I]O ; R[/I]) nằm trong mặt phẳng ([I]P[/I]). Tìm tập hợp các điểm [I]M[/I] trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên ([I]P[/I]) luôn nằm trên đường tròn đã cho. [B]14.[/B] Chứng minh các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đường thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định. [B]15.[/B] Mặt phẳng đi qua trục của một hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2[I]R[/I]. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Tính thể tich của khối trụ. c) Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ. [B]16.[/B] Một hình trụ có bán kình [I]R[/I] và chiều cao [I]R [IMG]https://www.vnschool.net/georoot/Images/Toan12/Toan12-chuong2-bai3/Toan12-4.jpg[/IMG].[/I] a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ. b) Cho điểm [I]A [/I]và [I]B[/I] lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa [I]AB[/I] và trục của hình trụ bằng 30[SUP]o[/SUP]. Tính khoảng cách giữa[I]AB[/I] và trục của hình trụ. [B]Nguồn: SƯU TẦM[/B][/FONT] [/QUOTE]
Tên
Mã xác nhận
Gửi trả lời
KIẾN THỨC PHỔ THÔNG
Trung Học Phổ Thông
TOÁN THPT
Kiến thức cơ bản Toán
Toán hoc 12
Hình 12: Bài 3: Mặt trụ, hình trụ và khối trụ
Top
