Hình 11_Nâng cao _Chương II_Bài 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng phân biệt
Ta coi các mép bàn a, c và cạnh b của chân bàn là các đường thẳng a,b, c.
a) Đường thẳng a và đường thẳng b có cùng nằm trên một mặt phẳng hay không?
b) Có mặt phẳng nào chứa hai đường thẳng a và c hoặc chứa hai đường thẳng b và c hay không?
Như vậy, khi cho hai đường thẳng phân biệt a và b trong không gian thì có thể xảy ra hai trường hợp:
a) Không có mặt phẳng nào chứa cả a và b. Khi đó ta nói rằng hai đường thẳng a và b chéo nhau (h.49).
b) Có mặt phẳng chứa cả a và b. Khi đó ta nói rằng chúng đồng phẳng. Trong trường hợp này, theo kết quả của hình học phẳng, có hai khả năng xảy ra:
i) a và b không có điểm chung. Khi đó ta nói rằng chúng song song với nhau ( hoặc chúng song song ) và kí hiệu là a // b (h.50).
ii) a và b có một điểm chung duy nhất. Khi đó ta nói rằng chúng song song với nhau. Nếu điểm chung của chúng là I, ta nói rằng chúng cắt nhau tại I hoặc I là giao điểm của chúng và viết
ĐỊNH NGHĨA
Cho tứ diện ABCD. Hãy xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng AB và CD.
Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có hay không hai đường thẳng p, q song song với nhau, mỗi đường thẳng đều cắt cả a và b ?
2. Hai đường thẳng song song
Dựa vào tiên đề Ơ-clít về đường thẳng song song trong mặt phẳng, ta có thể chứng minh được các tính chất sau đây
Tính chất 1
Tính chất 2
Giả sử ( P ), ( Q ), ( R ) là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, trong đó :
Dùng kết quả bài tập 4 của §1, hãy chứng tỏ rằng ba giao tuyếna, b, choặc đồng quy hoặc đôi một song song.
Từ đó ta có định lí sau đây:
ĐỊNH LÍ (về giao tuyến của ba mặt phẳng)
HỆ QUẢ
Hãy sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng để chứng minh hệ quả trên.
3. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, BC, DA, AC, BD.
Chứng minh ba đoạn thẳng MN, PQ và RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó gọi là trọng tâm của tứ diện ABCD đã cho (h.53).
Giải
Vì MP là đường trung bình của tam giác ABC, NQ là đường trung bình của tam giác ADC nên MP // AC, NQ // AC, 14Vậy MP // NQ và MP = NQ, do đó tứ giác MPNQ là hình bình hành.
Từ đó, ta suy ra các đoạn thẳng MN và PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Chứng minh tương tự, các đoạn thẳng MN và RS cũng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Vậy, ba đoạn thẳng MN, PQ, RS đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn thẳng đó.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).
b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MBC), trong đó M là một điểm nằm giữa hai điểm S và A.
Giải (h.54)
a) mp(SAB) và mp(SCD) có điểm chung S và lần lượt đi qua hai đường thẳng song song AB và CD nên chúng cắt nhau theo giao tuyến
b) mp(MBC) và mp(SAD) lần lượt đi qua hai đường thẳng song song BC và AD và có điểm chung M nên giao tuyến của chúng là đường thẳng MN song song với AD
Câu hỏi và bài tập
a) Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung;
b) Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau;
c) Hai đường thẳng không song song thì chéo nhau;
d) Hai đường thẳng phân biệt không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
18. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MQ, NP và vị trí tương đối của hai đường thẳng MP, NQ.
19. Cho tứ diện ABCD. Bốn điểm P, Q, R, S lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA và không trùng với các đỉnh của tứ diện. Chứng minh rằng
a) Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PQ, RS, AC hoặc đôi một song song hoặc đồng quy;
b) Bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng khi và chỉ khi ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc đôi một song song hoặc đồng quy.
20. Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt nằm trên ba cạnh AB, CD, BC. Hãy xác định giao điểm S của mp(PQR) với cạnh AD nếu:
a) PR // AC.
b) PR cắt AC.
21. Cho tứ diện ABCD. Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD; điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC. Gọi S là giao điểm của mp(PQR) và cạnh AD. Chứng minh rằng AS = 2SD.
22. Gọi G là trọng tâm của tứ diện ABCD.
a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua G và một đỉnh của tứ diện sẽ đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy.
b) Gọi A’ là trọng tâm của mặt BCD. Chứng minh rằng GA = 3GA’.
Sưu tầm
