Hình 11 - Chương III. Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
Ở chương II, chúng ta đã xét quan hệ song song trong không gian. Trong chương này ta nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. Kiến thức về vectơ là cơ sở để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian.
Khi học chương này, học sinh cần biết vận dụng các kiến thức đã có về vectơ trong mặt phẳng để áp dụng vào không gian, đồng thời bước đầu giải quyết được một số bài toán hình học không gian có liên quan đến các yếu tố vuông góc.
1. Vectơ trong không gian
Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ đã được đề cập trong chương trình hình học lớp 10. Tuy nhiên, khi đó tất cả các vectơ mà chúng ta xem xét đều nằm trên cùng một mặt phẳng.
Ở chương II, chúng ta đã làm quen với việc nghiên cứu hình học không gian mà đối tượng của nó là các hình có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chẳng hạn, tứ diện ABCD là một hình có tính chất đó và như thế các vectơ
Trong chương này, chúng ta sẽ nói đến các vectơ trong không gian. Vectơ, các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như trong mặt phẳng, chúng cũng có các tính chất đã biết nên không nhắc lại. Sau đây, chúng ta nêu lên một số hoạt động và ví dụ nhằm mục đích ôn tập lại những kiến thức đã có về vectơ trong mặt phẳng để áp dụng vào không gian.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với tâm O (h.83).
a) Hãy chỉ ra trên hình 83 những vectơ bằng nhau khác vectơ
b) Chứng minh rằng
CHÚ Ý
Công thức (1) gọi là quy tắc hình hộp (để tìm tổng của ba vectơ).
Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G và các trung điểm các cạnh của nó (h.84).
Hãy chỉ ra trên hình 84 những vectơ khác
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Đặt
1) Hãy biểu thị mỗi vectơ
2) Gọi G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’. Biểu thị vectơ
Ví dụ 1
Cho tứ diện ABCD
1. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng tỏ rằng:
2. Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra:
Giải (h.86)
1. Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
Tương tự như trên, ta có
2. a) Ta có
Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi
Điều này tương đương với
b) G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi
Điều này có nghĩa là với điểm P bất kì, ta có
Hay:
Ví dụ 2
Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’, BC = a, AD = a’.
Tính góc giữa các vectơ
Giải. Ta có
Từ đó góc
2. Sự đồng phẳng của các vectơ. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Ta biết rằng, với hai đường thẳng phân biệt cho trước trong không gian, luôn có mặt phẳng song song với hai đường thẳng đó. Nhưng nói chung, không có mặt phẳng song song với ba đường thẳng phân biệt cho trước. Nếu có mặt phẳng như vậy thì ta nói rằng ba vectơ nằm trên ba đường thẳng ấy là đồng phẳng.
ĐỊNH NGHĨA
Trên hình 87, giá của ba vectơ
Nhận xét
Từ định nghĩa trên, suy ra: Nếu ta vẽ
Bài toán 1
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AC và BD. Khi đó MPNQ là hình bình hành. Từ đó, hãy suy ra điều phải chứng minh (h.88).
Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng
Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và sự khai triển một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng, chúng ta có thể chứng minh được định lí sau (h.89).
ĐỊNH LÍ 1
Chứng minh rằng
1) Nếu có
2) Nếu
Bài toán 2
Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng AD và BC sao cho
1) Từ hệ thức
Tương tự, ta cũng có
2) Từ hai đẳng thức trên, chứng minh rằng
Vậy các điểm M, N, P cùng thuộc một mặt phẳng.
Định lí 1 nói đến điều kiện để có thể biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Định lí dưới đây sẽ nói về biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng.
ĐỊNH LÍ 2
Chứng minh
Từ điểm O, ta đặt
Từ điểm D kẻ đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng OC, cắt mặt phẳng (OAB) tại điểm D’ (h.91).
Khi đó
Theo định lí 1, ta có các số m, n sao cho
Giả sử còn có
Vì
Suy ra các số m, n, p là duy nhất.
Bài toán 3
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng A’C và C’D sao cho
Đặt:
a) Hãy biểu thị các vectơ
b) Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’.
Giải (h.92)
a) Từ giả thiết ta có:
do đó:
do đó:
b) Vì BD’ và C’D là hai đường thẳng chéo nhau và N thuộc đường thẳng C’D nên đường thẳng MN không thể trùng với đường thẳng BD’. Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’ khi và chỉ khi
Do
Mặt khác
Vậy khi k = -3, l = -1 thì đường thẳng MN và đường thẳng BD’ song song với nhau.
Câu hỏi và bài tập
a) Có một vectơ trong ba vectơ đó bằng
b) Có hai vectơ trong ba vectơ đó cùng phương.
2. Cho hình chóp S.ABCD.
a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi
3. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.
4. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’ ; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.
5. Trong không gian cho tam giác ABC.
a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho
b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho
6. Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng ( A’B’C’ ) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
NGUỒN: SƯU TẦM
