Trang chủ
Bài viết mới
Diễn đàn
Bài mới trên hồ sơ
Hoạt động mới nhất
VIDEO
Mùa Tết
Văn Học Trẻ
Văn Học News
Media
New media
New comments
Search media
Đại Học
Đại cương
Chuyên ngành
Triết học
Kinh tế
KHXH & NV
Công nghệ thông tin
Khoa học kĩ thuật
Luận văn, tiểu luận
Phổ Thông
Lớp 12
Ngữ văn 12
Lớp 11
Ngữ văn 11
Lớp 10
Ngữ văn 10
LỚP 9
Ngữ văn 9
Lớp 8
Ngữ văn 8
Lớp 7
Ngữ văn 7
Lớp 6
Ngữ văn 6
Tiểu học
Thành viên
Thành viên trực tuyến
Bài mới trên hồ sơ
Tìm trong hồ sơ cá nhân
Credits
Transactions
Xu: 0
Đăng nhập
Đăng ký
Có gì mới?
Tìm kiếm
Tìm kiếm
Chỉ tìm trong tiêu đề
Bởi:
Hoạt động mới nhất
Đăng ký
Menu
Đăng nhập
Đăng ký
Install the app
Cài đặt
Chào mừng Bạn tham gia Diễn Đàn VNKienThuc.com -
Định hướng Forum
Kiến Thức
- HÃY TẠO CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC HỮU ÍCH VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN Kết nối:
VNK X
-
VNK groups
| Nhà Tài Trợ:
BhnongFood X
-
Bhnong groups
-
Đặt mua Bánh Bhnong
KIẾN THỨC PHỔ THÔNG
Trung Học Phổ Thông
TOÁN THPT
Kiến thức cơ bản Toán
Toán học 11
Hình 11 - Chương III. Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
JavaScript is disabled. For a better experience, please enable JavaScript in your browser before proceeding.
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
You should upgrade or use an
alternative browser
.
Trả lời chủ đề
Nội dung
<blockquote data-quote="Thandieu2" data-source="post: 150073" data-attributes="member: 1323"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"> <span style="font-size: 15px"><strong>Hình 11 - Chương III. Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ</strong></span></span></span></p> <p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Ở chương II, chúng ta đã xét quan hệ song song trong không gian. Trong chương này ta nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. Kiến thức về vectơ là cơ sở để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Khi học chương này, học sinh cần biết vận dụng các kiến thức đã có về vectơ trong mặt phẳng để áp dụng vào không gian, đồng thời bước đầu giải quyết được một số bài toán hình học không gian có liên quan đến các yếu tố vuông góc.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>1. Vectơ trong không gian</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ đã được đề cập trong chương trình hình học lớp 10. Tuy nhiên, khi đó tất cả các vectơ mà chúng ta xem xét đều nằm trên cùng một mặt phẳng.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Ở chương II, chúng ta đã làm quen với việc nghiên cứu hình học không gian mà đối tượng của nó là các hình có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chẳng hạn, tứ diện ABCD là một hình có tính chất đó và như thế các vectơ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h1.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />không cùng nằm trong một mặt phẳng nào cả (h.82).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h82.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Trong chương này, chúng ta sẽ nói đến các vectơ trong không gian. Vectơ, các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như trong mặt phẳng, chúng cũng có các tính chất đã biết nên không nhắc lại. Sau đây, chúng ta nêu lên một số hoạt động và ví dụ nhằm mục đích ôn tập lại những kiến thức đã có về vectơ trong mặt phẳng để áp dụng vào không gian.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong>1</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với tâm O (h.83).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h83.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">a) Hãy chỉ ra trên hình 83 những vectơ bằng nhau khác vectơ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h3.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> và kiểm tra tính đúng đắn của đẳng thức <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h4.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Chứng minh rằng</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h5.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">CHÚ Ý</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Công thức (1) gọi là <strong><em>quy tắc hình hộp</em></strong> (để tìm tổng của ba vectơ).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong>2</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G và các trung điểm các cạnh của nó (h.84).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Hãy chỉ ra trên hình 84 những vectơ khác <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h3.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />bằng nhau và kiểm tra xem đẳng thức <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> có đúng không?</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h84.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong>3</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Đặt <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h7.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> (h.85).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">1) Hãy biểu thị mỗi vectơ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h8.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />qua các vectơ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">2) Gọi G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’. Biểu thị vectơ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h10.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />qua <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h85.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Ví dụ 1</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>Cho tứ diện ABCD</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>1. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng tỏ rằng:</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h11.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>2. Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra:</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h12.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Giải</em></strong> (h.86)</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h86.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">1. Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h13.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Tương tự như trên, ta có</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h14.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">2. a) Ta có</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h15.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h16.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Điều này tương đương với <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h17.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h18.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Điều này có nghĩa là với điểm P bất kì, ta có</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h19.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Hay:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h20.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Ví dụ 2</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’, BC = a, AD = a’.</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>Tính góc giữa các vectơ</em> <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h21.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><em>và </em><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h22.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Giải.</em></strong> Ta có</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h23.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Từ đó góc <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h24.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />xác định bởi</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h25.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>2. Sự đồng phẳng của các vectơ. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Ta biết rằng, với hai đường thẳng phân biệt cho trước trong không gian, luôn có mặt phẳng song song với hai đường thẳng đó. Nhưng nói chung, không có mặt phẳng song song với ba đường thẳng phân biệt cho trước. Nếu có mặt phẳng như vậy thì ta nói rằng ba vectơ nằm trên ba đường thẳng ấy là đồng phẳng.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">ĐỊNH NGHĨA</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h26.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h87.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Trên hình 87, giá của ba vectơ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />đều song song với mặt phẳng (P) nên ba vectơ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> đồng phẳng.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Nhận xét</em></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Từ định nghĩa trên, suy ra: Nếu ta vẽ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h27.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> thì ba vectơ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng hay ba đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Bài toán 1</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ </em><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h28.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><em>đồng phẳng.</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong>4</strong> (Để giải bài toán 1)</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AC và BD. Khi đó MPNQ là hình bình hành. Từ đó, hãy suy ra điều phải chứng minh (h.88).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và sự khai triển một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng, chúng ta có thể chứng minh được định lí sau (h.89).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">ĐỊNH LÍ 1</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h29.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h89.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong>5</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Chứng minh rằng</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">1) Nếu có <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h30.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />và một trong ba số m, n, p khác không thì ba vectơ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> đồng phẳng;</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">2) Nếu <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> là ba vectơ không đồng phẳng và <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h31.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />thì m = n = p = 0.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Bài toán 2</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng AD và BC sao cho</em> <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h32.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng (h.90).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch2_h90.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong>6</strong> (Để giải bài toán 2)</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">1) Từ hệ thức <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h33.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> hãy chứng tỏ</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h34.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Tương tự, ta cũng có</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h35.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">2) Từ hai đẳng thức trên, chứng minh rằng</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h36.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Vậy các điểm M, N, P cùng thuộc một mặt phẳng.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Định lí 1 nói đến điều kiện để có thể biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Định lí dưới đây sẽ nói về biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">ĐỊNH LÍ 2</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h37.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Chứng minh</em></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h91.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Từ điểm O, ta đặt <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h38.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />thì không cùng thuộc một mặt phẳng.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Từ điểm D kẻ đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng OC, cắt mặt phẳng (OAB) tại điểm D’ (h.91).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Khi đó</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h39.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Theo định lí 1, ta có các số m, n sao cho <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h40.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Ngoài ra do <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h41.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> và <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h42.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> cùng phương nên có số p để <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h43.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Vậy <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h44.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Giả sử còn có <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h45.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> thì</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h46.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Vì <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> không đồng phẳng nên m - m’ = n - n’ = p - p’ = 0 hay m = m’, n = n’, p = p’.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Suy ra các số m, n, p là duy nhất.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Bài toán 3</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng A’C và C’D sao cho <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h47.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> ( k và l đều khác 1)</em>.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>Đặt:</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h48.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>a) Hãy biểu thị các vectơ</em> <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h49.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><em>và </em><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h50.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><em>qua các vectơ</em> <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>b) Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’.</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Giải</em></strong> (h.92)</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h92.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">a) Từ giả thiết ta có:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h51.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">do đó:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h52.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">do đó:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h53.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Vì BD’ và C’D là hai đường thẳng chéo nhau và N thuộc đường thẳng C’D nên đường thẳng MN không thể trùng với đường thẳng BD’. Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’ khi và chỉ khi <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h54.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Do <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h55.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> nên ta có</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h56.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Mặt khác <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h57.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> (quy tắc hình hộp) mà <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> là ba vectơ không đồng phẳng nên</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h58.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Vậy khi k = -3, l = -1 thì đường thẳng MN và đường thẳng BD’ song song với nhau.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"></span></p></span></span></p><p style="text-align: center"><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Câu hỏi và bài tập</strong></span></p></span></span></p><p style="text-align: center"><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></p></span></span></p><p style="text-align: center"><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>1.</strong> Ba vectơ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> có đồng phẳng không nếu một trong hai điều sau đây xảy ra?</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">a) Có một vectơ trong ba vectơ đó bằng <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h3.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Có hai vectơ trong ba vectơ đó cùng phương.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>2.</strong> Cho hình chóp S.ABCD.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h59.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Điều ngược lại có đúng không?</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h60.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>3.</strong> Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>4.</strong> Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’ ; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>5.</strong> Trong không gian cho tam giác ABC.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h61.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />với mọi điểm O.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h62.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />, trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC ).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>6.</strong> Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng ( A’B’C’ ) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>NGUỒN: SƯU TẦM</strong></span></span></span></p></blockquote><p></p>
[QUOTE="Thandieu2, post: 150073, member: 1323"] [CENTER][FONT=arial][COLOR=#00289F] [SIZE=4][B]Hình 11 - Chương III. Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ[/B][/SIZE] [/COLOR][/FONT][/CENTER] [FONT=arial][COLOR=#00289F] [/COLOR][/FONT][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Ở chương II, chúng ta đã xét quan hệ song song trong không gian. Trong chương này ta nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. Kiến thức về vectơ là cơ sở để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Khi học chương này, học sinh cần biết vận dụng các kiến thức đã có về vectơ trong mặt phẳng để áp dụng vào không gian, đồng thời bước đầu giải quyết được một số bài toán hình học không gian có liên quan đến các yếu tố vuông góc.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B] 1. Vectơ trong không gian [/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Khái niệm vectơ và các phép toán vectơ đã được đề cập trong chương trình hình học lớp 10. Tuy nhiên, khi đó tất cả các vectơ mà chúng ta xem xét đều nằm trên cùng một mặt phẳng. [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Ở chương II, chúng ta đã làm quen với việc nghiên cứu hình học không gian mà đối tượng của nó là các hình có thể không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chẳng hạn, tứ diện ABCD là một hình có tính chất đó và như thế các vectơ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h1.jpg[/IMG]không cùng nằm trong một mặt phẳng nào cả (h.82).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h82.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Trong chương này, chúng ta sẽ nói đến các vectơ trong không gian. Vectơ, các phép toán vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn giống như trong mặt phẳng, chúng cũng có các tính chất đã biết nên không nhắc lại. Sau đây, chúng ta nêu lên một số hoạt động và ví dụ nhằm mục đích ôn tập lại những kiến thức đã có về vectơ trong mặt phẳng để áp dụng vào không gian.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg[/IMG][B]1[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ với tâm O (h.83).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h83.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]a) Hãy chỉ ra trên hình 83 những vectơ bằng nhau khác vectơ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h3.jpg[/IMG] và kiểm tra tính đúng đắn của đẳng thức [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h4.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Chứng minh rằng[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h5.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]CHÚ Ý[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Công thức (1) gọi là [B][I]quy tắc hình hộp[/I][/B] (để tìm tổng của ba vectơ).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg[/IMG][B]2[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Cho tứ diện ABCD với trọng tâm G và các trung điểm các cạnh của nó (h.84).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Hãy chỉ ra trên hình 84 những vectơ khác [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h3.jpg[/IMG]bằng nhau và kiểm tra xem đẳng thức [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h6.jpg[/IMG] có đúng không?[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h84.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg[/IMG][B]3[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Đặt [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h7.jpg[/IMG] (h.85).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]1) Hãy biểu thị mỗi vectơ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h8.jpg[/IMG]qua các vectơ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg[/IMG].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]2) Gọi G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’. Biểu thị vectơ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h10.jpg[/IMG]qua [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg[/IMG].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h85.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]Ví dụ 1[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]Cho tứ diện ABCD[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]1. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng tỏ rằng:[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h11.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]2. Chứng minh rằng điểm G là trọng tâm của tứ diện khi và chỉ khi một trong hai điều kiện sau xảy ra:[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h12.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B][I]Giải[/I][/B] (h.86)[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h86.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]1. Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h13.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Tương tự như trên, ta có[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h14.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]2. a) Ta có[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h15.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h16.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Điều này tương đương với [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h17.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h18.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Điều này có nghĩa là với điểm P bất kì, ta có[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h19.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Hay:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h20.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]Ví dụ 2[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]Cho tứ diện ABCD có AB = c, CD = c’, AC = b, BD = b’, BC = a, AD = a’.[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]Tính góc giữa các vectơ[/I] [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h21.jpg[/IMG][I]và [/I][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h22.jpg[/IMG].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B][I]Giải.[/I][/B] Ta có[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h23.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Từ đó góc [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h24.jpg[/IMG]xác định bởi[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h25.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]2. Sự đồng phẳng của các vectơ. Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Ta biết rằng, với hai đường thẳng phân biệt cho trước trong không gian, luôn có mặt phẳng song song với hai đường thẳng đó. Nhưng nói chung, không có mặt phẳng song song với ba đường thẳng phân biệt cho trước. Nếu có mặt phẳng như vậy thì ta nói rằng ba vectơ nằm trên ba đường thẳng ấy là đồng phẳng. [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]ĐỊNH NGHĨA[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h26.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h87.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Trên hình 87, giá của ba vectơ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg[/IMG]đều song song với mặt phẳng (P) nên ba vectơ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg[/IMG] đồng phẳng.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B][I]Nhận xét[/I][/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Từ định nghĩa trên, suy ra: Nếu ta vẽ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h27.jpg[/IMG] thì ba vectơ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg[/IMG] đồng phẳng khi và chỉ khi bốn điểm O, A, B, C cùng nằm trên một mặt phẳng hay ba đường thẳng OA, OB, OC cùng nằm trong một mặt phẳng.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]Bài toán 1[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba vectơ [/I][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h28.jpg[/IMG][I]đồng phẳng.[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg[/IMG][B]4[/B] (Để giải bài toán 1)[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AC và BD. Khi đó MPNQ là hình bình hành. Từ đó, hãy suy ra điều phải chứng minh (h.88).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B] Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Từ định nghĩa ba vectơ đồng phẳng và sự khai triển một vectơ theo hai vectơ không cùng phương trong hình học phẳng, chúng ta có thể chứng minh được định lí sau (h.89).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]ĐỊNH LÍ 1[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h29.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h89.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg[/IMG][B]5[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Chứng minh rằng[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]1) Nếu có [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h30.jpg[/IMG]và một trong ba số m, n, p khác không thì ba vectơ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg[/IMG] đồng phẳng;[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]2) Nếu [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg[/IMG] là ba vectơ không đồng phẳng và [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h31.jpg[/IMG]thì m = n = p = 0.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B] Bài toán 2[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]Cho tứ diện ABCD. Các điểm M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đường thẳng AD và BC sao cho[/I] [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h32.jpg[/IMG]. Chứng minh rằng các điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng (h.90).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch2_h90.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h2.jpg[/IMG][B]6[/B] (Để giải bài toán 2)[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]1) Từ hệ thức [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h33.jpg[/IMG] hãy chứng tỏ[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h34.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Tương tự, ta cũng có[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h35.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]2) Từ hai đẳng thức trên, chứng minh rằng[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h36.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Vậy các điểm M, N, P cùng thuộc một mặt phẳng.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Định lí 1 nói đến điều kiện để có thể biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương. Định lí dưới đây sẽ nói về biểu thị một vectơ qua ba vectơ không đồng phẳng.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] ĐỊNH LÍ 2[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h37.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B][I]Chứng minh[/I][/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h91.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Từ điểm O, ta đặt [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h38.jpg[/IMG]thì không cùng thuộc một mặt phẳng.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Từ điểm D kẻ đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng OC, cắt mặt phẳng (OAB) tại điểm D’ (h.91).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Khi đó[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h39.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Theo định lí 1, ta có các số m, n sao cho [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h40.jpg[/IMG]. Ngoài ra do [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h41.jpg[/IMG] và [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h42.jpg[/IMG] cùng phương nên có số p để [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h43.jpg[/IMG]. Vậy [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h44.jpg[/IMG].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Giả sử còn có [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h45.jpg[/IMG] thì[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h46.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Vì [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg[/IMG] không đồng phẳng nên m - m’ = n - n’ = p - p’ = 0 hay m = m’, n = n’, p = p’.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Suy ra các số m, n, p là duy nhất.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]Bài toán 3[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xét các điểm M và N lần lượt thuộc các đường thẳng A’C và C’D sao cho [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h47.jpg[/IMG] ( k và l đều khác 1)[/I].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]Đặt:[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h48.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]a) Hãy biểu thị các vectơ[/I] [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h49.jpg[/IMG][I]và [/I][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h50.jpg[/IMG][I]qua các vectơ[/I] [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg[/IMG].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]b) Xác định các số k, l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’.[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B][I]Giải[/I][/B] (h.92)[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h92.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]a) Từ giả thiết ta có:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h51.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]do đó:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h52.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]do đó:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h53.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Vì BD’ và C’D là hai đường thẳng chéo nhau và N thuộc đường thẳng C’D nên đường thẳng MN không thể trùng với đường thẳng BD’. Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD’ khi và chỉ khi [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h54.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Do [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h55.jpg[/IMG] nên ta có[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h56.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Mặt khác [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h57.jpg[/IMG] (quy tắc hình hộp) mà [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg[/IMG] là ba vectơ không đồng phẳng nên[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h58.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Vậy khi k = -3, l = -1 thì đường thẳng MN và đường thẳng BD’ song song với nhau.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial] [B]Câu hỏi và bài tập [/B][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]1.[/B] Ba vectơ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h9.jpg[/IMG] có đồng phẳng không nếu một trong hai điều sau đây xảy ra?[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]a) Có một vectơ trong ba vectơ đó bằng [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h3.jpg[/IMG].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Có hai vectơ trong ba vectơ đó cùng phương.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B] 2.[/B] Cho hình chóp S.ABCD.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]a) Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h59.jpg[/IMG]. Điều ngược lại có đúng không?[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h60.jpg[/IMG].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B] 3.[/B] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B] 4.[/B] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD’ ; G và G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B] 5.[/B] Trong không gian cho tam giác ABC.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]a) Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mp(ABC) thì có ba số x, y, z mà x + y + z = 1 sao cho [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h61.jpg[/IMG]với mọi điểm O.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Ngược lại, nếu có một điểm O trong không gian sao cho [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai1_h62.jpg[/IMG], trong đó x + y + z = 1 thì điểm M thuộc mp(ABC ).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B] 6.[/B] Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng ( A’B’C’ ) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3. [B]NGUỒN: SƯU TẦM[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [/QUOTE]
Tên
Mã xác nhận
Gửi trả lời
KIẾN THỨC PHỔ THÔNG
Trung Học Phổ Thông
TOÁN THPT
Kiến thức cơ bản Toán
Toán học 11
Hình 11 - Chương III. Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ
Top
