Trang chủ
Bài viết mới
Diễn đàn
Bài mới trên hồ sơ
Hoạt động mới nhất
VIDEO
Mùa Tết
Văn Học Trẻ
Văn Học News
Media
New media
New comments
Search media
Đại Học
Đại cương
Chuyên ngành
Triết học
Kinh tế
KHXH & NV
Công nghệ thông tin
Khoa học kĩ thuật
Luận văn, tiểu luận
Phổ Thông
Lớp 12
Ngữ văn 12
Lớp 11
Ngữ văn 11
Lớp 10
Ngữ văn 10
LỚP 9
Ngữ văn 9
Lớp 8
Ngữ văn 8
Lớp 7
Ngữ văn 7
Lớp 6
Ngữ văn 6
Tiểu học
Thành viên
Thành viên trực tuyến
Bài mới trên hồ sơ
Tìm trong hồ sơ cá nhân
Credits
Transactions
Xu: 0
Đăng nhập
Đăng ký
Có gì mới?
Tìm kiếm
Tìm kiếm
Chỉ tìm trong tiêu đề
Bởi:
Hoạt động mới nhất
Đăng ký
Menu
Đăng nhập
Đăng ký
Install the app
Cài đặt
Chào mừng Bạn tham gia Diễn Đàn VNKienThuc.com -
Định hướng Forum
Kiến Thức
- HÃY TẠO CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC HỮU ÍCH VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN Kết nối:
VNK X
-
VNK groups
| Nhà Tài Trợ:
BhnongFood X
-
Bhnong groups
-
Đặt mua Bánh Bhnong
KIẾN THỨC PHỔ THÔNG
Trung Học Phổ Thông
TOÁN THPT
Kiến thức cơ bản Toán
Toán học 11
Hình 11: Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
JavaScript is disabled. For a better experience, please enable JavaScript in your browser before proceeding.
You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.
You should upgrade or use an
alternative browser
.
Trả lời chủ đề
Nội dung
<blockquote data-quote="Thandieu2" data-source="post: 150081" data-attributes="member: 1323"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"> <span style="font-size: 15px"><strong>Hình 11 - Chương III. Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng</strong></span></span></span></p> <p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"></span></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"><span style="color: #00289F"></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Bài toán 1</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong mặt phẳng (P). Chứng minh rằng nếu đường thẳng a vuông góc với cả b và c thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h1.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong>1</strong> (Để giải bài toán 1)</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Kí hiệu <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h2.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng a, b, c, d trong đó d là đường thẳng bất kì nằm trong (P) (h.97). Giả thiết của bài toán có nghĩa là <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h3.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Hãy chứng tỏ <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h4.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h97.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span></p><p></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Khi a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì ta nói rằng đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P). Vậy ta có định nghĩa</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">ĐỊNH NGHĨA 1</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h5.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Khi đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta còn nói mặt phẳng (P) vuông góc với a hoặc a và (P) vuông góc với nhau, và kí hiệu a<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />(P) hoặc (P) <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />a.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Từ bài toán 1 và định nghĩa trên, ta có định lí sau nói về điều kiện để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">ĐỊNH LÍ 1</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h7.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h1.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong>2</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Chứng tỏ rằng nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba, tức là phải chứng minh (h.98):</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h8.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h98.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span></p><p></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>2. Các tính chất</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Từ định nghĩa nêu trên, ta có các tính chất sau:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Tính chất 1</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h9.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Tính chất 2</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h10.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong><em></em></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Nhận xét</em></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h26.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />Mặt phẳng (P) nói trong tính chất 1 được xác định bởi hai đường thẳng phân biệt b và c cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (h.99).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h99.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span></p><p></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h26.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> Đường thẳng <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h11.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />(trong tính chất 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q) và (R) cùng đi qua O và lần lượt vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng (P) (h.100).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h100.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span></p><p></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h26.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />Từ tính chất 1, ta thấy có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng đó gọi là <strong><em>mặt phẳng trung trực</em></strong> của đoạn thẳng AB (h.101).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h101.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span></p><p></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Dễ thấy rằng <em>mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h1.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><strong>3</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Tìm tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh tam giác ABC.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Trong chương II, ta đã đề cập đến quan hệ song song giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. Kết hợp các tính chất nêu trên, ta có thể chứng minh được một số tính chất nói về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Tính chất 3</strong> (h.102)</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h12.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h102.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span></p><p></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Tính chất 3 được viết gọn là:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h13.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Tính chất 4</strong> (h.103)</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h14.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h103.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span></p><p></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Tính chất 4 được viết gọn là:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h15.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Nhận xét</em></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Trong tính chất 3, nếu ta thay các cụm từ “mặt phẳng” thành “đường thẳng”, “đường thẳng” thành “mặt phẳng”, còn các từ khác giữ nguyên thì ta có tính chất 4.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Tính chất 5</strong> (h.104)</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h16.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h104.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span></p><p></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Tính chất 5 được viết gọn là:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h17.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>4. Định lí ba đường vuông góc</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Phép chiếu vuông góc</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Một trường hợp thường gặp của phép chiếu song song là phép chiếu vuông góc.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">ĐỊNH NGHĨA 2</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h18.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Vì phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song. <em>Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P)</em> còn được gọi đơn giản là <strong><em>phép chiếu lên mặt phẳng (P)</em></strong>. Nếu H’ là hình chiếu vuông góc của hình H trên mp(P) thì ta cũng nói H’ là <strong><em>hình chiếu</em></strong> của H trên mặt phẳng (P).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Định lí ba đường vuông góc</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">ĐỊNH LÍ 2</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Chứng minh</em></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Nếu a nằm trong (P) thì kết quả là hiển nhiên.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Nếu a không nằm trong (P) thì ta lấy hai điểm phân biệt A và B thuộc a. Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P), khi đó hình chiếu a’ của đường thẳng a trên (P) chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B’ (h.105).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h105.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span></p><p></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Vì b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h20.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />(P) nên b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />AA’.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Vậy nếu b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />a thì b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />mp(a’ , a), do đó b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />a’.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Ngược lại, nếu b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />a’ thì b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />mp(a’, a), do đó b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />a.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Ta có định nghĩa sau (h.106)</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h106.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p><span style="font-family: 'arial'"></span></p><p></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">ĐỊNH NGHĨA 3</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h21.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Lưu ý rằng <em>góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá</em> 90[SUP]0[/SUP].</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Ví dụ</strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA</em><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><em>mp(ABCD).</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>a) Chứng minh rằng MN // BD và SC</em><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><em>mp(AMN).</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>b) Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><em>2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) khi SA =</em> <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /><em>, AB = a.</em></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong><em>Giải</em></strong> (h.107)</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h107.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /></span></p><p></span></span></p><p></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">1. a) Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên BM = DN. Mặt khác, tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN song song với BD.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Ta có BC<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />(SAB) nên BC<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />AM ; mặt khác SB<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />AM, do đó AM<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />SC.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Tương tự, AN<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />SC.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">Vậy, SC<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />(AMN).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Do MN // BD mà BD<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />(SAC) nên MN<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />(SAC), từ đó MN<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />AK.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">2. Ta có AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD). Mặt khác AC = <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h22.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />, SA = <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h22.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> nên <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h23.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />. Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45[SUP]0[/SUP].</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><p style="text-align: center"><span style="font-family: 'arial'"></span></p></span></span></p><p style="text-align: center"><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Câu hỏi và bài tập</strong></span></p></span></span></p><p style="text-align: center"><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></p></span></span></p><p style="text-align: center"><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></p><p></span></span><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>12.</strong> Khẳng định “Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì nó vuông góc với (P)” có đúng không? Vì sao?</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong></strong></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>13.</strong> Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Các mệnh đề sau đúng hay sai?</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">a) Nếu a // ( P ) và b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />( P ) thì b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />a.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Nếu a // ( P ) và b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />a thì b<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />( P ).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">c) Nếu a // ( P ) và b // a thì b // ( P ).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>14.</strong> Cho điểm S có hình chiếu trên mp( P ) là H. Với điểm M bất kì trên (P) (M không trùng H ), ta gọi đoạn thẳng SM là <strong><em>đường xiên</em></strong>, đoạn thẳng HM là <strong><em>hình chiếu của đường xiên</em></strong> đó. Chứng minh rằng:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào dài hơn thì có hình chiếu dài hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu dài hơn thì dài hơn.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>15.</strong> Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>16.</strong> Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">a) Tính độ dài AD.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>17.</strong> Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">c) Chứng minh rằng:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h24.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>18.</strong> Cho hình chóp S.ABC có SA<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />mp(ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">a) AH, SK, BC đồng quy;</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) SC<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />mp(BHK );</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">c) HK<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />mp(SBC).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>19.</strong> Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">a) Chứng minh rằng SG<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />(ABC). Tính SG.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P).</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"></span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'"><strong>20.</strong> a) Cho tứ diện ABCD có AB<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />CD, AC<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />BD. Chứng minh rằng AD<img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là <strong><em>tứ diện trực tâm</em></strong>.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">b) Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương:</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">i) ABCD là tứ diện trực tâm.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">ii) Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">iii) <img src="https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h25.jpg" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />.</span></span></span></p><p><span style="color: #000000"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-family: 'arial'">c) Chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là <strong><em>trực tâm của tứ diện</em></strong> nói trên.</span></span></span></p><p><span style="color: #00289F"><span style="font-family: 'tahoma'"></span></span></p><p> <span style="color: #00289F"><span style="font-family: 'tahoma'"><span style="font-size: 15px"><span style="font-family: 'arial'"><strong>Sưu tầm</strong></span></span></span></span></p></blockquote><p></p>
[QUOTE="Thandieu2, post: 150081, member: 1323"] [CENTER][FONT=arial][COLOR=#00289F] [SIZE=4][B]Hình 11 - Chương III. Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng[/B][/SIZE] [/COLOR][/FONT][/CENTER] [FONT=arial][COLOR=#00289F] [/COLOR][/FONT][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]1. Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng [/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]Bài toán 1[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]Cho hai đường thẳng cắt nhau b và c cùng nằm trong mặt phẳng (P). Chứng minh rằng nếu đường thẳng a vuông góc với cả b và c thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h1.jpg[/IMG][B]1[/B] (Để giải bài toán 1)[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Kí hiệu [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h2.jpg[/IMG]lần lượt là vectơ chỉ phương của các đường thẳng a, b, c, d trong đó d là đường thẳng bất kì nằm trong (P) (h.97). Giả thiết của bài toán có nghĩa là [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h3.jpg[/IMG].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Hãy chứng tỏ [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h4.jpg[/IMG].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h97.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Khi a vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì ta nói rằng đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P). Vậy ta có định nghĩa[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] ĐỊNH NGHĨA 1[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h5.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Khi đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), ta còn nói mặt phẳng (P) vuông góc với a hoặc a và (P) vuông góc với nhau, và kí hiệu a[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG](P) hoặc (P) [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]a.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Từ bài toán 1 và định nghĩa trên, ta có định lí sau nói về điều kiện để đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] ĐỊNH LÍ 1[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h7.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h1.jpg[/IMG][B]2[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Chứng tỏ rằng nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba, tức là phải chứng minh (h.98):[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h8.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h98.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]2. Các tính chất [/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Từ định nghĩa nêu trên, ta có các tính chất sau: [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]Tính chất 1[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h9.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B] Tính chất 2[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h10.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B][I] Nhận xét[/I][/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h26.jpg[/IMG]Mặt phẳng (P) nói trong tính chất 1 được xác định bởi hai đường thẳng phân biệt b và c cùng đi qua điểm O và cùng vuông góc với đường thẳng a (h.99).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h99.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h26.jpg[/IMG] Đường thẳng [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h11.jpg[/IMG](trong tính chất 2 là giao tuyến của hai mặt phẳng (Q) và (R) cùng đi qua O và lần lượt vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b nằm trong mặt phẳng (P) (h.100).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h100.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h26.jpg[/IMG]Từ tính chất 1, ta thấy có duy nhất một mặt phẳng vuông góc với AB tại trung điểm O của đoạn thẳng AB. Mặt phẳng đó gọi là [B][I]mặt phẳng trung trực[/I][/B] của đoạn thẳng AB (h.101).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h101.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Dễ thấy rằng [I]mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h1.jpg[/IMG][B]3[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Tìm tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh tam giác ABC.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Trong chương II, ta đã đề cập đến quan hệ song song giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng. Kết hợp các tính chất nêu trên, ta có thể chứng minh được một số tính chất nói về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng. [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]3. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]Tính chất 3[/B] (h.102) [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h12.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h102.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Tính chất 3 được viết gọn là:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h13.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]Tính chất 4[/B] (h.103)[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h14.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h103.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Tính chất 4 được viết gọn là:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h15.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B][I]Nhận xét[/I][/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Trong tính chất 3, nếu ta thay các cụm từ “mặt phẳng” thành “đường thẳng”, “đường thẳng” thành “mặt phẳng”, còn các từ khác giữ nguyên thì ta có tính chất 4. [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]Tính chất 5[/B] (h.104)[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h16.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h104.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Tính chất 5 được viết gọn là:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h17.jpg[/IMG] [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]4. Định lí ba đường vuông góc [/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]Phép chiếu vuông góc [/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Một trường hợp thường gặp của phép chiếu song song là phép chiếu vuông góc. [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]ĐỊNH NGHĨA 2[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h18.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Vì phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song nên nó có mọi tính chất của phép chiếu song song. [I]Phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P)[/I] còn được gọi đơn giản là [B][I]phép chiếu lên mặt phẳng (P)[/I][/B]. Nếu H’ là hình chiếu vuông góc của hình H trên mp(P) thì ta cũng nói H’ là [B][I]hình chiếu[/I][/B] của H trên mặt phẳng (P). [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]Định lí ba đường vuông góc[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]ĐỊNH LÍ 2[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B][I]Chứng minh[/I][/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Nếu a nằm trong (P) thì kết quả là hiển nhiên.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Nếu a không nằm trong (P) thì ta lấy hai điểm phân biệt A và B thuộc a. Gọi A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của A và B trên (P), khi đó hình chiếu a’ của đường thẳng a trên (P) chính là đường thẳng đi qua hai điểm A’ và B’ (h.105).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h105.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Vì b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h20.jpg[/IMG](P) nên b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]AA’.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Vậy nếu b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]a thì b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]mp(a’ , a), do đó b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]a’.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Ngược lại, nếu b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]a’ thì b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]mp(a’, a), do đó b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]a. [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P). Ta có định nghĩa sau (h.106)[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h106.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][FONT=arial] [/FONT][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]ĐỊNH NGHĨA 3[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h21.jpg[/IMG][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Lưu ý rằng [I]góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá[/I] 90[SUP]0[/SUP].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B] Ví dụ[/B][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA[/I][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG][I]mp(ABCD).[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]1. Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD.[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]a) Chứng minh rằng MN // BD và SC[/I][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG][I]mp(AMN).[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]b) Gọi K là giao điểm của SC với mp(AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc.[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][I]2. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) khi SA =[/I] [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG][I], AB = a.[/I][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B][I]Giải[/I][/B] (h.107)[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/L11_nc_ch3_h107.jpg[/IMG][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]1. a) Hai tam giác vuông SAB và SAD bằng nhau có các đường cao tương ứng là AM và AN nên BM = DN. Mặt khác, tam giác SBD cân tại đỉnh S nên MN song song với BD.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Ta có BC[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG](SAB) nên BC[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]AM ; mặt khác SB[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]AM, do đó AM[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]SC.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Tương tự, AN[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]SC.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]Vậy, SC[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG](AMN).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Do MN // BD mà BD[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG](SAC) nên MN[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG](SAC), từ đó MN[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]AK.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial] 2. Ta có AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD). Mặt khác AC = [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h22.jpg[/IMG], SA = [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h22.jpg[/IMG] nên [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h23.jpg[/IMG]. Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45[SUP]0[/SUP].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][CENTER][FONT=arial] [B]Câu hỏi và bài tập [/B][/FONT][/CENTER] [/FONT][/COLOR][COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]12.[/B] Khẳng định “Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng (P) thì nó vuông góc với (P)” có đúng không? Vì sao?[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B] 13.[/B] Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Các mệnh đề sau đúng hay sai?[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]a) Nếu a // ( P ) và b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]( P ) thì b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]a.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Nếu a // ( P ) và b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]a thì b[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]( P ).[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]c) Nếu a // ( P ) và b // a thì b // ( P ). [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]14.[/B] Cho điểm S có hình chiếu trên mp( P ) là H. Với điểm M bất kì trên (P) (M không trùng H ), ta gọi đoạn thẳng SM là [B][I]đường xiên[/I][/B], đoạn thẳng HM là [B][I]hình chiếu của đường xiên[/I][/B] đó. Chứng minh rằng:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]a) Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào dài hơn thì có hình chiếu dài hơn và ngược lại, đường xiên nào có hình chiếu dài hơn thì dài hơn. [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]15.[/B] Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm O cách đều bốn đỉnh của tứ diện. [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]16.[/B] Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc và AB = a, BC = b, CD = c. [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]a) Tính độ dài AD.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Chỉ ra điểm cách đều A, B, C, D. [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]17.[/B] Cho hình tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]a) Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên mp(ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]c) Chứng minh rằng:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h24.jpg[/IMG]. [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]18.[/B] Cho hình chóp S.ABC có SA[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]mp(ABC) và tam giác ABC không vuông. Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]a) AH, SK, BC đồng quy;[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) SC[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]mp(BHK );[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]c) HK[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]mp(SBC). [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]19.[/B] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]a) Chứng minh rằng SG[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG](ABC). Tính SG.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để (P) cắt SC tại điểm nằm giữa S và C. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mp(P). [/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial][B]20.[/B] a) Cho tứ diện ABCD có AB[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]CD, AC[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]BD. Chứng minh rằng AD[IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h6.jpg[/IMG]BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là [B][I]tứ diện trực tâm[/I][/B].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]b) Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương:[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]i) ABCD là tứ diện trực tâm.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]ii) Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]iii) [IMG]https://vnschool.net/georoot/Images/Toan11/ch3_bai3_h25.jpg[/IMG].[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#000000][FONT=tahoma][FONT=arial]c) Chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là [B][I]trực tâm của tứ diện[/I][/B] nói trên.[/FONT][/FONT][/COLOR] [COLOR=#00289F][FONT=tahoma] [SIZE=4][FONT=arial][B]Sưu tầm[/B][/FONT][/SIZE][/FONT][/COLOR] [/QUOTE]
Tên
Mã xác nhận
Gửi trả lời
KIẾN THỨC PHỔ THÔNG
Trung Học Phổ Thông
TOÁN THPT
Kiến thức cơ bản Toán
Toán học 11
Hình 11: Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Top
