Hình 10 - Chương 1. VECTƠ - BÀI 3. TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1. Định nghĩa
Ta quy ước 
Người ta còn gọi tích của vectơ với một số là tích của một số với một vectơ.
2. Tính chất
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
a) Nếu là trung điểm của đoạn thẳng thì với mọi điểm ta có 
.
b) Nếu là trọng tâm của tam giác thì với mọi điểm ta có 
.
4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ 
cùng phương là có một số để 
.
Thật vậy, nếu thì hai vectơ 
cùng phương.
Ngược lại, giả sử cùng phương. Ta lấy 
nếu cùng hướng và lấy nếu và ngược hướng. Khi đó ta có
Nhận xét. Ba điểm phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi có số khác 0 để 
.
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Khi đó ta nói vectơ 
được phân tích (hay còn được gọi là biểu thị ) theo hai vectơ không cùng phương .
Một cách tổng quát người ta chứng minh được mệnh đề quan trọng sau đây:
Cho hai vectơ không cùng phương. Khi đó mọi vectơ đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ , nghĩa là có duy nhất cặp số sao cho 
.
Câu hỏi và bài tập
1. Cho hình bình hành . Chứng minh rằng:
2. Cho và là hai trung tuyến của tam giác . Hãy phân tích các vectơ 
3. Trên đường thẳng chứa cạnh của tam giác lấy một điểm sao cho 
4. Gọi là trung tuyến của tam giác và là trung điểm của đoạn . Chứng minh rằng
5. Gọi và lần lượt là trung điểm các cạnh và của tứ giác . Chứng minh rằng:
6. Cho hai điểm phân biệt và . Tìm điểm sao cho
.
7. Cho tam giác . Tìm điểm sao cho 
8. Cho lục giác . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Chứng minh rằng hai tam giác và có cùng trọng tâm.
9. Cho tam giác đều có là trọng tâm và là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ đến . Chứng minh rằng:
Bạn có biết
Tỉ lệ vàng
Ơ-clit (Euclide), nhà toán học của mọi thời đại đã từng nói đến “tỉ lệ vàng” trong tác phẩm bất hủ của ông mang tên “Những nguyên tắc cơ bản”. Theo Ơ-clit, điểm trên đoạn được gọi là điểm chia đoạn AB theo tỉ lệ vàng nếu thỏa mãn
Với tỉ lệ vàng người ta có thể tạo nên một hình chữ nhật đẹp, cân đối và gây hứng thú cho nhiều nhà hội họa kiến trúc. Ví dụ, khi đến tham quan đền Pác-tê-nông ở A-ten (Hi Lạp) người ta thấy kích thước các hình hình học trong đền phần lớn chịu ảnh hưởng của tỉ lệ vàng. Nhà tâm lí học người Đức Phít-nê ( Fichner ) đã quan sát và đo hàng nghìn đồ vật thường dùng trong đời sống như ô cửa sổ, trang giấy viết, bìa sách… và so sánh kích thước giữa chiều dài và chiều ngang của chúng thì thấy tỉ số gần bằng tỉ lệ vàng.
Hình 1.17
Để dựng điểm vàng của đoạn ta làm như sau:
Sử dụng điểm vàng ta có thể dựng được góc 72[SUP]2[/SUP], từ đó dựng được ngũ giác đều cũng như ngôi sao năm cánh như sau:
Ta dựng đường tròn tâm bán kính cắt trung trực của tại ta được
Một ngũ giác đều nội tiếp đường tròn trên có hai đỉnh liên tiếp là và điểm xuyên tâm đối của . Từ đó ta dựng được ngay ba đỉnh còn lại của ngũ giác đều.
Cần lưu ý rằng trên ngôi sao năm cánh trong hình 1.19 thì tỉ số 
chính là tỉ lệ vàng. Ngôi sao vàng năm cánh của Quốc kì nước ta được dựng theo tỉ số này.
Sưu tầm
