[Help]Hàm số phân thức hữu tỉ

[minhchi92]

y=x-4m/2(mx-1) (Hm)

Cm rằng với mọi m khác +-1/2 các đường cong (Hm) luôn qua 2 điểm cố định A, B.

Help me plzzzzz :ah:

Cho hàm số:

\[y=\frac{x-4m}{2(mx-1)}\qquad (C_m)\]

Chứng minh rằng \[\forall m\neq \pm\frac{1}{2}\] thì các đường cong \[(C_m)\] luôn qua hai điểm cố định \[A,B\]

 

[NguoiDien]

Bài toán tổng quát: Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số: \[y=f(x,m)\]

Ta biến đổi phương trình hàm số trở thành phương trình đối với ẩn là tham số \[m\] còn \[x\] và \[y\] trở thành tham số. Khi đó ta tìm điều kiện để phương trình này thỏa mãn \[\forall m\] bằng cách cho các hệ số của lũy thừa của \[m\] lần lượt bằng \[0\]. Khi đó ta sẽ tìm ra \[x\] và \[y\] là hoành độ và tung độ các điểm cố định đó.

Vào bài toán cụ thể này:

Ta có:

Phương trình hàm số \[\Leftrightarrow x-4m=2y(mx-1)\]

\[\Leftrightarrow (4+2xy)m-(2y+x)=0\]

Để phương trình này thỏa mãn với mọi \[m\] thì:

\[\left{ 4+2xy=0 \\ 2y+x=0\]

Giải hệ ta có hai cặp nghiệm:

\[\left{ x=-2 \\ y= 1\]

và

\[\left{ x=2 \\ y=-1\]

Vậy hai điểm cố định của đồ thị hàm số cần tìm là:

\[A(-2;1)\] và \[B(2;-1)\]