Hệ phương trình nhờ Khách giải

[light_future96]

Giải hệ phương trinh
1.\[x+y=z\]
\[x^3+y^3=z^2\]
với x,y nguyên dương
2.\[\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=\sqrt{2}\]và \[\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\]
:26:

 

[lachtach]

bài 1 nhé
pt2<->(x+y)(x^2+y^2-xy)=z^3
<->(x+y)[(x+y)^2-3xy]=z^3
rồi thay x+y=z vào là đc rồi đấy bạn làm nốt nha

 

[light_future96]

Giải hệ phương trinh
1.\[x+y=z\](1)
\[x^3+y^3=z^2\](2)
vỡi,y nguyên dương
:26:

\[ (2)\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2)=z^2\]
vì x, y dương nên kết hợp vs (1) ta có
\[x^2-xy+y^2=x+y\Leftrightarrow y^2-y(x+1)=x^2-x=0(3)\]
từ(3) ta thấy y tồn tại \[ \Delta y\geq 0\Leftrightarrow 3(x-1)^2\leq 4\]
Vì x nguyên dương nên x=1 hoặc x=2.
Thay x vào (3) từ đó giải ra
Nghiêm là: (1;2;3) và các hoán vị của nó

 

[light_future96]

Giải hệ phương trinh
2.\[\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{2xy}=\sqrt{2}\]và \[\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2}\]
:26:

hệ phương trình đã xho tương đương với:
\[\sqrt{2(x^2+y^2)}+\sqrt{2xy}=2(1)\]
và \[x+y+2\sqrt{xy}=2(2)\]
\[\Rightarrow \sqrt{2(x^2+y^2)}=x+y\Rightarrow 2(x^2+y^2)=x^2+y^2+2xy\]
\[\Rightarrow (x-y)=0\Rightarrow x=y\]
Vậy nghiệm của hệ là x=y=0