Giúp em tìm min của hàm số ^^!

[lyhlyh274]

\[P=\frac{4}{x} + \frac{1}{4y}\] với \[x>0;y>0;x+y=\frac{5}{4}\]

Bài này giải theo cách tìm đạo hàm rồi xét dấu, em giải được rồi nhưng thầy em nói còn 1 cách là giải theo Cô - si. Em mù tịt bất đẳng thức nên giải ko được, giúp em làm bài này theo Cô - si với ạ!
Thầy em hướng dẫn là:

Xét \[(x+y)P = (x+y)(\frac{4}{x}+\frac{1}{4y} )\]

 

[NguoiDien]

\[P=\frac{4}{x} + \frac{1}{4y}\] với \[x>0;y>0;x+y=\frac{5}{4}\]

Bài này giải theo cách tìm đạo hàm rồi xét dấu, em giải được rồi nhưng thầy em nói còn 1 cách là giải theo Cô - si. Em mù tịt bất đẳng thức nên giải ko được, giúp em làm bài này theo Cô - si với ạ!
Thầy em hướng dẫn là:

Xét \[(x+y)P = (x+y)(\frac{4}{x}+\frac{1}{4y} )\]

\[(x+y).P=(x+y)(\frac{4}{x}+\frac{1}{4y} )=4+\frac{1}{4}+(\frac{4y}{x}+\frac{x}{4y}\geq 4+\frac{1}{4}+2\] (dùng cô si với \[\frac{4y}{x}\] và \[\frac{x}{4y}\])

Khi đó \[(x+y).P=\frac{5}{4}.P\geq \frac{25}{4}\] nên suy ra \[P\geq 5\].

Đẳng thức xảy ra khi \[\frac{4y}{x}=\frac{x}{4y}\] hay \[x^2=4y^2\]

Khi đó \[P\] nhỏ nhất là \[P_{\min}=5\]