Giúp em làm bài tập về cực trị với (4)

[thinhbo2011]

Dưới đây em xin post khoảng 5,6 bài cực trị. Các anh có thể giải từ từ từng bài, mong là không giải tắt, em mới học chương trình 12 nên còn bỡ ngỡ.

1.Tìm \[m\] để đường thẳng (d): \[y=x + m^2 - m\] đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối 2 điểm CĐ,CT của đồ thì (C):\[y = x^3 - 6x^2 + 9x\]

2.\[y =\frac{x^2 - (m + 1)x + m^2 + 1}{x -m}\]. CMR đồ thị hàm số luôn có CĐ,CT với mọi m. Tìm tọa độ các điểm cực trị đó.Viết ptdt đi qua 2 điểm cực trị này.

3.\[y = mx^3 - 3mx^2 + (2m + 1)x + 3 - m\] (Cm). Tìm m để hàm số có CĐ,CT. Khi đó chứng minh rằng đường thẳng nối 2 điểm CĐ,CT luôn đi qua một điểm cố định.

4. Với giá trị nào của m thì các hàm số sau:

a. \[y = mx^3 - 3(m -1)x^2 + 9(m - 2)x + 1\] có cực đai x1 và cực tiểu x2 thỏa:\[ x1 + 2x2 = 1\]

b.\[ y = \frac{x^2 - 3x -m}{4 - x}\] có giá trị cực đại Ycđ và giá trị cực tiểu Yct thỏa : |Yct - Ycđ | = 4/TEX]

c. \[y = x^3 - 6x^2 + 3(m + 2)x -m - 6\] có giá trị cực đại yCĐ ; yCT cùng dấu.

d. \[y = \frac{x^2 - x + m}{x + 1}\] có 2 điểm cực trị và giá trị hai cực trị trái dấu.

e. \[y = \frac{2x^2 - 3x +m}{x - m}\] có 2 cực trị thỏa : | yCT - yCĐ | > 8

Mấy câu này thường em chỉ giải ở mức tìm được m để hàm số có CĐ,CT à(tại cái đó có công thức em biết trình bày) còn mấy câu hỏi thêm của câu đó em đọc chẵng hiểu gì ,hic. Các anh chị cứ giải từ từ đi, được bài nào hay bài đó. Em sẽ thường xuyên vào bài này để tham khảo cách trình bày của anh chị ạ.:haha:

 

[thinhbo2011]

Sửa dùm em câu 4e.
y = f(x) = [2x^2 - 3x + m]/[x -m] , A = |yCT - yCĐ | > 8
ĐK: Mọi x ≠ m
f'(x)= [(4x - 3)(x - m) - (2x^2 - 3x + m)]/[(x - m)^2] = [2x^2 - 4mx + 2m]/[(x - m)^2] = g(x)/(x - m)^2
Hàm số có 2 cực trị <=> f'(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt
<=> g(x) có 2 nghiệm phân biệt ≠ m
<=> ∆g(x) > 0 và g(m) ≠ 0
<=> m^2 - m > 0 và m ≠ 0 và m ≠ 1
<=> m > 1 hay m < 0 (so điều kiện ta nhận) (*)
Ta có: f'(x) = 0 <=> (4x - 3)(x - m) - (2x^2 - 3x + m) = 0
<=> (4x - 3)(x - m) = 2x^2 - 3x + m
=> f(x) = [2x^2 - 3x + m]/[x - m] = [(4x - 3)(x - m)]/[x - m] = 4x - 3
Gọi (x1;y1) và (x2;y2) là .... các cực trị <--chỗ này em không biết ghi gì
A = |y1 - y2| = |4x1 -3 - 4x2 + 3| = 4|x1 - x2|
Áp dụng định lý Viét ta có:
s = x1 + x2 = 2m ; p = x1.x2 = m
A^2 = 16[(x1 - x2)^2] = 16[(x1 + x2)^2 - 4x1.x2] = 64(m^2 - m)
Theo đề bài ta có : A > 8
=> A^2 > 64
<=> 64(m^2 - m) > 64
<=> m^2 - m -1 > 0
<=> m > [(1 + √5)/2] hay m < [(1 - √5)/2]
So điều kiện (*) ta nhận nghiệm :
m > [(1 + √5)/2] hay m < [(1 - √5)/2]
Vậy m > [(1 + √5)/2] hay m < [(1 - √5)/2] thì f(x) có 2 cực trị thỏa | yCT - yCĐ | > 8 .
( Xem lại dùm em chỗ im đậm, lên lớp cô giáo bảo không được làm vậy, anh nào biết cách khác chỉ em với, em học NC và chỉ mới học được 2 bài của chương trình 12 nên cũng thấy hơi khó khó hiểu, hix)

 

[thinhbo2011]

Đăng bài lên mà không ai trả lời vậy trời, nản. Sữa bài mà không ai check lỗi dùm, diễn đàn kiến thức đây hả trời, không lấy được 1 hs 12 dỏm giải mấy bài này nữa.

 

[Không phải cháu]

Để giải quyết những bài toán về cực trị như thế này cần nắm vững các điều kiện của cực trị, đặc biệt là định lí Viet và các biểu thức đối xứng đối với nghiệm của phương trình bậc hai. Rất muốn đọc và góp ý với các bài của bạn nhưng thật sự thời gian không có nhiều và bạn gõ bài 4e như vậy nên độc rất mói mắt. Không thể đọc hết nổi.

Gợi ý một số hướng giải quyết các bài trên như sau:

Bài 1: Tính đạo hàm, đưa ra phương trình \[y'=0\] là phương trình bậc hai. Gọi hai nghiệm lần lượt là \[x_1,x_2\] thì ta có các tọa độ Cực trị. Khi đó áp dụng công thức tọa độ trung điểm đoạn thẳng (học ở Hình học 10) rồi cho tọa đọ này thỏa mãn phương trình đường. từ đó sẽ tìm ra giá trị tham số \[m\].

Bài 2: Biến đổi hàm số \[y=f(x)\] về dạng \[y=A.f'(x)+g(x)\]. Trong đó \[A\] là một biểu thức chứa biến \[x\]

Khi đó, giả sử \[M(x_o;y_o)\] là cực trị của hàm số thì \[y_o=f(x_o)=A.f'(x_o)+g(x_o)\]

Do tại điểm cực trị thì \[f'(x_o)=0\] nên \[y_o=g(x_0)\]

Nói cách khác, đường \[y=g(x)\] luôn cắt đường \[y=f(x)\] tại các điểm cực trị của đồ thị hàm số \[y=f(x)\].

Từ đó suy ra, muốn tìm đường (cong hoặc thẳng) thi qua các cực trị của đồ thị hàm số \[y=f(x)\]. ta biến đổi \[f(x)\] về dạng \[A.f'(x)+g(x)\] thì \[y=g(x)\] là đường qua các cực trị của hàm số đã cho. Áp dụng điều này vào hàm số của bài này là ra.

Bài 3: Làm như bài 2. Sau khi đã có phương trình đường thẳng qua các cực trị thì vấn đề còn lại là tìm điểm cố định của đường này.

Bài toán tìm điểm cố định của hàm số \[y=f(x,m)\] với mọi tham số m giải quyết như sau:

Biến đổi phương trình \[y=f(x,m)\] về dạng phương trình \[g(m)=0\] với \[m\] là ẩn còn \[x,y\] là tham số.

Để phương trình này nghiệm đúng với mọi m thì các hệ số trong phương trình này đều bằng \[0\]. Khi đó cho tất cả các hệ số của phương trình bằng \[0\] ta sẽ tìm được \[x\] và \[y\] tương ứng. Đó chính là hoành độ và tung độ của điểm cố định.

Ví dụ: Tìm điểm cố định của đồ thị hàm số \[y=x^2-(m+1)x-m\]

ta biến đổi phương trình hàm số thành: \[-(x+1)m+x^2-y=0\]

Phương trình này có vô số nghiệm khi và chỉ khi \[\left{ -(x+1)=0 \\ x^2-y=0\]

Từ đây tìm được \[\left{ x=-1 \\ y=1\]

Vậy điểm \[(-1;1)\] là điểm cố định của hàm số \[y=x^2-(m+1)x-m\] với mọi giá trị của tham số \[m\].

Bài 4: Bài 4 này sử dụng định lý Viet rất nhiều. Bạn chú ý rằng các hoành độ cực trị là nghiệm của phương trình y'=0 mà các phương trình y'=0 trong các phần của bài này đều là các phương trình bậc hai. Như vậy bạn áp dụng định lý Viet để đưa ra các điều kiện của bài toán.

 

[thinhbo2011]

Ít ra phải vậy chớ, thanks trước, để làm mấy bài rùi đem lên sữa, nhưng trong thanh công cụ toán khó tìm được mấy cái kí hiệu cần ghi quá.