Giúp em bài toán lập phương trình mặt phẳng

[gukaki]

Lập phương trình mặt phẳng song song với \[d_1, d_2\] và tiếp xúc với mặt cầu \[(S)\]

\[(S):\qquad x^2+y^2+z^2-2x+2y+4z-3=0\]

\[d_1:\qquad \left{ x=4t \\ y=-t \\ z=2t\]

\[d_2:\qquad \frac{x-1}{-1} =\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}\]

 

[gukaki]

lập phương trình mặt phẳng chứa Oy cắt (S) theo đường tròn có R=3

Lập phương trình mặt phẳng chứa \[Oy\] cắt mặt cầu \[(S)\] theo đường tròn có bán kính \[r=3\]

\[(S):\qquad x^2+y^2+z^2+4x-2y+2z-3=0\]

 

[gukaki]

lập phương trình mặt phẳng vuông góc(P1) và (P2).và mặt cầu(S) theo đường tròn bán kính lớn nhất

Lập phương trình mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng \[(P_1), (P_2)\] và cắt mặt cầu \[(S)\] theo đường tròn có bán kính lớn nhất.

\[(P_1):\qquad 3x+2y-z+1=0\]

\[(P_2):\qquad x+2y+3z+4=0\]

\[(S):\qquad x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z=0\]

 

[NguoiDien]

Lập phương trình mặt phẳng song song với \[d_1, d_2\] và tiếp xúc với mặt cầu \[(S)\]

\[(S):\qquad x^2+y^2+z^2-2x+2y+4z-3=0\]

\[d_1:\qquad \left{ x=4t \\ y=-t \\ z=2t\]

\[d_2:\qquad \frac{x-1}{-1} =\frac{y}{1}=\frac{z}{-1}\]

Gợi ý:

Mặt phẳng \[(\alpha )\] song song với \[d_1\] và \[d_2\] có véc tơ pháp tuyến vuông góc với hai véc tơ chỉ phương của \[d_1\] và \[d_2\].

Ta có: \[\vec{u_1}=(4;-1;2)\] và \[\vec{u_2}=(-1;1;-1)\]

Do đó véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \[(\alpha )\] là:

\[\vec{n}=[\vec{u_1}.\vec{u_2}=(-1;2;5)\]

Từ đây suy ra mặt phẳng \[(\alpha )\] có phương tình dạng:

\[-x+2y+5z+D=0\]

Phương trình mặt cầu \[(S)\] có thể viết lại thành:

\[(x-1)^2+(y+1)^2+(z+2)^2=9\]

nên \[(S)\] có tâm \[I(1;-1;-2)\] và bán kính \[R=3\]

Mặt khác \[(\alpha )\] tiếp xúc với mặt cầu \[(S)\] nên khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng bằng bán kính mặt cầu:

\[\Leftrightarrow \frac{|(-1).1+1.(-1)+5.(-2)+D|}{\sqrt{(-1)^2+2^2+5^2}}=3\]

\[|D-12|=3\sqrt{30}\Rightarrow \Left[ D=3\sqrt{30}-12 \\ D=-3\sqrt{30}-12\]

Thay giá trị \[D\] vào phương trình mặt phẳng \[(\alpha )\] ta có phương trình cần viết.

Chú ý: Trong tính toán có thể mình nhầm lẫn các bạn kiểm tra giùm vì vừa gõ vừa nghĩ nên không chắc đúng các phép toán.

Bài toán dạng này luôn có hai mặt phẳng song song với nhau và cùng tiếp xúc với mặt cầu ở hai điểm đối xứng nhau qua tâm mặt cầu.

 

[NguoiDien]

Lập phương trình mặt phẳng chứa \[Oy\] cắt mặt cầu \[(S)\] theo đường tròn có bán kính \[r=3\]

\[(S):\qquad x^2+y^2+z^2+4x-2y+2z-3=0\]

Bài này em làm theo phương pháp này: https://diendankienthuc.net/diendan/showthread.php?p=33528

Chú ý rằng điểm \[M\] chính là tâm mặt cầu và khoảng cách \[d=R^2-3^2\] với \[R\] là bán kính mặt cầu.

 

[NguoiDien]

Lập phương trình mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng \[(P_1), (P_2)\] và cắt mặt cầu \[(S)\] theo đường tròn có bán kính lớn nhất.

\[(P_1):\qquad 3x+2y-z+1=0\]

\[(P_2):\qquad x+2y+3z+4=0\]

\[(S):\qquad x^2+y^2+z^2+2x-4y+6z=0\]

Bài này em làm giống như bài đầu tiên anh đã làm để đưa đến véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (vì nó vuông góc với cả hai mặt kia nên có thể lấy tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt cho trước làm véc tơ pháp tuyến của mặt cần viết phương trình)

Còn việc mặt phẳng cắt mặt cầu bởi đường trong lớn nhất chính là mặt phẳng đi qua tâm mặt cầu. Em tìm ra tâm mặt cầu nữa nghĩa là em đã có véc tơ pháp tuyến và một điểm trên mặt phẳng thì việc viết phương trình mặt phẳng chỉ còn là việc đơn giản. Cố gắng tự làm theo hướng dẫn em nhé!

 

[gukaki]

em cảm ơn anh nha