Normal
Ta có đẳng thức\[\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}= \frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\]Do đó ta có\[\rightarrow \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \ge \frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+ \sqrt{yz}}\]\[\rightarrow \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \ge \frac{1}{1+x}+\frac{2\sqrt{x}}{1+ \sqrt{x}}\]Đặt \[x= u^2\rightarrow \frac{1}{2} \le u\le 1\] khi đó ta đi xét hiệu\[\frac{1}{1+u^2}+\frac{2u}{1+u}-\frac{22}{15}=\frac{(2u-1)(4u^2-9u+7)}{15(u+1)(u^2+1)} \ge 0\]Vậy bài toán chứng minh xong em nhé
Ta có đẳng thức
\[\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}= \frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)}\]
Do đó ta có
\[\rightarrow \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \ge \frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+ \sqrt{yz}}\]
\[\rightarrow \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z} \ge \frac{1}{1+x}+\frac{2\sqrt{x}}{1+ \sqrt{x}}\]
Đặt \[x= u^2\rightarrow \frac{1}{2} \le u\le 1\] khi đó ta đi xét hiệu
\[\frac{1}{1+u^2}+\frac{2u}{1+u}-\frac{22}{15}=\frac{(2u-1)(4u^2-9u+7)}{15(u+1)(u^2+1)} \ge 0\]
Vậy bài toán chứng minh xong em nhé
