Giải thích dùm mình bài tích phân lượng giác này với

[suphukaman]

A = ∫[(sin^3(x)) / (sinx + cosx)]dx , a= 0, b=π/2
Bài này trên lớp thầy mình đã giải thể này:
I = ∫[(sin³x) / (sinx + cosx)]dx
J = ∫[(cos³x) / (sinx + cosx)]dx
I + J = ∫[(sin³x + cos³x) / (sinx + cosx)]dx = ∫(1 - sinxcosx)dx = x + cos2x/4
J - I = ∫(cosx - sinx)[1+ (sinx + cosx)²]/[2(sinx + cosx)]dx = ∫[1+ (sinx + cosx)²]/[2(sinx + cosx)] d(sinx + cosx) = 1/2[(sinx + cosx)²/2 - ln(sinx + cosx)]
(Dựa vào a,b tính toán tích phân từ từ..............)
==> A = [ (I + J) - (J - I) ] / 2 = ........ (tính toán) = 1/4(π - 1)
Mình thắc mắc cả một bài luôn đó, không biết tại sao lại làm vậy nữa, hỏi mà thầy không chỉ, hic. Bạn nào biết giải thích dùm mình nhen .

 

[NguoiDien]

Đây là một phương pháp thường dùng đối với các bài tích phân lượng giác có tính đối xứng hoặc bán đối xứng (không dùng cho việc tìm họ nguyên hàm). Từ I dễ dàng suy ra J bằng việc đặt \[ x=\frac{\pi }{2}-t\]. Trường áp dụng của phương pháp này tuy không rộng nhưng rất hiệu quả đối với dạng bài toán này. Bạn chú ý các cận của tích phân và biểu thức dưới dấu tích phân là thấy ngay thôi mà!

 

[duong0510]

nguoidien nói rất đúng, ngoài ra bạn có thể làm theo cách cổ điển là nhân mẫu với sin^2(x)+cos^2(x) để đảm bảo bậc tử và mẫu bằng nhau. sau đó chia tử và mẫu cho sin^3(x) hoặc cos^3(x), nhưng vì đây có chứa cận 0 và pi/2(làm cho tãn và cotx ko xđ) nên mình phải tách ra thành 0->pi/4 và pi/4->pi/2 để né cái trường hợp kia.