Giải giúp mình vài bài toán này nha

[ngoisaouocmo]

1. Cho tam giác ABC thỏa mãn:

Chứng minh tam giác đó đều
2. giải pt:

3. giải hệ pt:

4.cho a,b,c>0 và ab+bc+ac=3

cm

 

[ngoisaouocmo]

mn ơi giúp mình vs

 

[kimthoa_97]

GIẢI:
tu pt (1) ta có \[x>0\]=> Đặt \]x=a^{2}\] ta có\[:a^{2}(a^{2}+y)^{2}=9\]
\[<=>a(a^{2}+y)=3<=>ay=3-a^{3}\] (3)
Thay (3) vào (2) ta có \[2)<=>a^{2}(y^{3}-a^{6})=7<=>a^{2}\]
\[y^{3}-a^{6}=7<=>\frac{1}{a}(3-a^{3})-a^{8}=0\]
\[<=>2a^{9}-9a^{6}+27a^{3}+7a-27=0\]
\[<=>(a-1)(2a^{8}+2a^{7}+2a^{6}-7a^{5}-7a^{4}-7a^{3}+20a^{2}+20a+27)=0\]
\[a=1\]
hoặc \[2a^{8}+2a^{7}+2a^{6}-7a^{5}-7a^{4}-7a^{3}+20a^{2}+20a+27=0\] (3)
\[2a^{6}(a^{2}+a+1)-7a^{3}(a^{2}+a+1)+20(a^{2}+a+1)+7=0\]
\[(a^{2}+a+1)(2a^{6}-7a^{3}+20)+7=0\]
Do \[a^{2}+a+1>0\]
\[2a^{6}-7a^{3}+20=2(a^{3}-\frac{7^{2}}{4}+\frac{111}{8}>0\]

 

[uocmo_kchodoi]

Câu 1. \[2\sqrt{3}sinAsinBsinC=sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C\]\[\geq 3\sqrt[3]{sinAsinBsinC}\]
\[\Leftrightarrow 2\sqrt[3]{sinAsinBsinC}\geq \sqrt{3}\]
\[\Leftrightarrow sinAsinBsinC\geq \frac{3\sqrt{3}}{8}\left(1 \right)\]
Mặt khác.\[\Leftrightarrow sinAsinBsinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{8}\] với mọi tam giác ABC.
\[\left(1 \right)\Leftrightarrow sinAsinBsinC=\frac{3\sqrt{3}}{8}\]
Dấu = xảy ra \[\Leftrightarrow sinA=sinB=sinC=\frac{\sqrt{3}}{2}\] <=> tam giác ABC đều.

Câu 2. ĐK. \[x\geq 1\]. Với ddk trên ta có.
phương trình \[\Leftrightarrow \sqrt[3]{x+6}-2+\sqrt{x-1}-1=x^{2}-4\]
\[\Leftrightarrow \left(x-2 \right)\left[\frac{1}{\sqrt[3]{\left(x+6 \right)^{2}}+2\sqrt[3]{x+6}+4}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+1}-x-2 \right]=0\]
Đặt cái trong ngoặc = A. Với mọi x>=1 thì A<0. Do đó phương trình có 1 nghiệm x=2. (thỏa mãn}

Câu 3. Từ hệ suy ra y>x>0.
\[\begin{cases}x\left(x+y \right)^{2}=9\left(1 \right)\\x\left(y^{3}-x^{3} \right)=7\left(2 \right)\end{cases}\]
Ta có. \[\left(1 \right)\Leftrightarrow \sqrt{x}\left(x+y \right)=3\]
Đặt. \[\sqrt{x}=a>0,\sqrt{y}=b>0\]. Khi này hệ trở thành.
\[\begin{cases}a\left(a^{2}+b^{2} \right)=3\\a^{2}\left(b^{6}-a^{6}=7\end{cases}\]
\[\Leftrightarrow \begin{cases}b^{2}=\frac{3}{a}-a^{2}\left(3 \right)\\a^{2}\left(b^{6}-a^{6}\right)=7\left(4 \right)\end{cases}\]
Thế (3} và (4} ta được. \[f\left(a \right)=2a^{9}-9a^{6}+27a^{3}+7a-27=0\]
\[f '\left(a \right)=18a^{8}-54a^{5}+51a^{2}+7\]
Đặt \[\begin{cases}a^{2}=d\\a^{3}=c\end{cases}\]
Khi này. \[f '\left(a \right)=18dc^{2}-54dc+51d+7=g\left(c \right)\]
\[\Delta g\left(c \right)=-189d^{2}-126d<0\] với mọi d>0 \[\Rightarrow g\left(c \right)>0\] với mọi d,c
\[\Leftrightarrow f '\left(a \right)>0\] mọi a => f(a) đồng biến. => f(a)=0 có nhiều nhất 1 nghiệm.
Nhận thấy a=1 là 1 nghiệm của phương trình=> a=1 là nghiệm duy nhất.
Với a=1 thì x=1. => x=2

Câu 4 bạnxem lại đề thử đi. Với lại t cũng kém bđt.hihi