Giải dùm mình đi phương trình đó

[gukaki]

:feel_good:
{2}^{x}+{4}^{8:x}=32

 

[Book]

:feel_good:
{2}^{x}+{4}^{8:x}=32

\[{2}^{x}+{4}^{8:x}=32\]

 

[NguoiDien]

:feel_good:
{2}^{x}+{4}^{8:x}=32

Đề bài của bạn thế này phải không?

Giải phương trình:

\[2^x+4^{\frac{8}{x}}=32\]

 

[NguoiDien]

Xin lỗi bạn hôm qua mình nhầm đề dấu cộng và dấu trừ nên không tìm ra lời giải. tối nay đọc lại đề mới nhận ra mình nhầm chứ không phải bạn.

Giải phương trình:

\[2^x+4^{\frac{8}{x}}=32\]

Phương trình có thể viết lại:

\[2^x+2^{\frac{16}{x}}=32\].

TH1: Với \[x<0\]

Khi đó \[2^x<2^0=1\] và

\[\frac{16}{x}<0\] nên \[2^{\frac{16}{x}}<2^0=1\]

Do đó vế trái của phương trình nhỏ hơn \[2\] nên phương trình không có nghiệm.

TH2: Với \[x>0\]

Xét hàm số: \[f(x)=2^x+2^{\frac{16}{x}}-32\]

Ta có:

\[f'(x)=2^x.ln2-\frac{16}{x^2}.2^{\frac{16}{x}}.ln2\]

\[=\frac{ln2}{x^2}.\left( x^2.2^x-2^4.2^{\frac{16}{x}}\right)\]

*Khi \[x<4\] thì \[x^2<4^2=2^4\] và \[x<\frac{16}{x}\] nên \[2^x<2^{\frac{16}{x}}\]

suy ra \[x^2.2^x-2^4.2^{\frac{16}{x}}<0\] hay \[f'(x)<0\] nên hàm \[f(x)\] là nghịch biến.

*Khi \[x>4\] thì \[x^2>4^2=2^4\] và \[x>\frac{16}{x}\] nên \[2^x>2^{\frac{16}{x}}\]

suy ra \[x^2.2^x-2^4.2^{\frac{16}{x}}>0\] hay \[f'(x)>0\] nên hàm \[f(x)\] là đồng biến.

Do đó \[f(x)>minf(x)=f(4)=0\] với mọi \[x>0\]

Như vậy phương trình \[f(x)=0\] có nghiệm duy nhất \[x=\]4.

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất \[x=4\].