Đề thi vào lớp 10 năm học 2014-2015 thành phố Hà Nội

[NguoiDien]

 

[NguoiDien]

Bài 1

1. Với

thì

.


2. Ta có:

.


Để

thì

Đặt

với

0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" style="vertical-align: 0px;" height="12" width="39"> thì

(loại vì

) hoặc

, khi đó

.

 

[NguoiDien]

Bài II

Gọi

(

0" title="Rendered by QuickLaTeX.com" style="vertical-align: 0px;" height="12" width="43">) là số sản phẩm phân xưởng làm được trong một ngày theo kế hoạch. Khi đó số ngày để hoàn thành công việc là

Khi tăng năng suất mỗi ngày

sản phẩm thì số sản phầm làm được trong mỗi ngày thực làm là

. Khi đó thời gian làm thực là

.


Do thời gian vượt theo kế hoạch

ngày nên

(loại) hoặc

.

Vậy số sản phẩm làm được trong một ngày theo kế hoạch là

sản phẩm.

 

[NguoiDien]

Bài III

1. Đặt

và

ta có hệ:

. Cộng hai phương trình ta có

. thế vào phương trình thứ hai ta có

Do đó

. Thế

và

vào

ta được

. Vậy nghiệm của hệ là

2. Hoành độ giao điểm của

và

là nghiệm phương trình

. Giải phương trình ta được hai nghiệm

và

. Khi đó ta được các giao điểm của

và

là

và

.


Đường thẳng

có phương trình

. Đường thẳng qua

và vuông góc với

có hệ số góc

. Do đường thẳng đó qua

nên ta có phương trình đường thẳng qua

và vuông góc với

là

.


Khi đó chân đường cao của tam giác

kẻ từ

là nghiệm của hệ:

Giải hệ trên ta được

. Như vậy chân đường cao

.


Độ dài cạnh đáy

Độ dài đường cao

Suy ra diện tích tam giác

:

(đvdt).

 

[NguoiDien]

Bài IV


1. Chứng minh

là hình chữ nhật:

và

là các đường kính của đường tròn

nên cắt nhau tại tâm

là trung điểm mỗi đường. Do đó

là hình bình hành.


Mặt khác

là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên

. Vậy

là hình chữ nhật.


2. Chứng minh

thuộc cùng một đường tròn:


Do

(góc nội tiếp chắn cùng một dây cung)

(Do tam giác

vuông tại

)

.


Mặt khác

nên

tứ giác

là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối bằng

) hay bốn điểm

nằm trên cùng một đường tròn.


3. Chứng minh

là trung điểm của

và

song song với

:

Do

là trung điểm của

,

là trung điểm của

nên

song song với

Mặt khác

nên

song song với

. Do

là trung điểm

nên

là trung điểm của

.


Từ chứng minh trên suy ra

và

. Suy ra

và

là các tiếp tuyến của đường tròn tại

và

.

Do tam giác

vuông tại

nên

Tương tự ta có

. Như vậy ta có

. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị. Từ đây ta suy ra

song song với

4. Tìm vị trí của

để diện tích

nhỏ nhất:


Ta có

Do

và

nên

. Khi đó

Gọi

là trung điểm

, ta có

Gọi

là chân đường vuông góc kẻ từ

đến

thì

Khi đó

. Do

là đường kính của

nên

nhỏ nhất khi và chỉ khi

nhỏ nhất.


Mặt khác,

và

nên

nhỏ nhất khi và chỉ khi

trùng với

và

trùng với

. Khi đó

song song với

hay

vuông góc với

.

 

[NguoiDien]

Bài V

Do

nên ta có:

Áp dụng bất đẳng thức

với hai số dương

và

ta được:

Tương tự ta cũng có:

Vậy giá trị lớn nhất quả

là

khi