Đề thi HSG huyện Gia Bình

[dacsang97]

Cho a và b là các số nguyên. chứng minh rằng nếu phương trình \[{x}^{2} + ax + b =0\] có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là nghiệm nguyên.:90:

 

[bomkute1996th]

Phương trình \[{x}^{2}+ax+b\] (1)
Nếu (1) có nghiệm x=0 thì ta có điều phải chứng minh.

Nếu (1) có nghiệm hữu tỉ x =\[\frac{m}{n}#0\] với m\[\in Z\],m#0,\[n\in N*\],\[(\mid m\mid,n)=1\]

Thay vao (1): \[{(\frac{m}{n})}^{2}+a.\frac{m}{n}+b=0\]

\[\Rightarrow {m}^{2}=-amn-b{n}^{2}=-n(am+bn)\]

\[\Rightarrow {m}^{2}\] chia hết n

Lại có:\[(\mid m\mid ,n)=1\] nên n=1

\[\Rightarrow \] x nguyên

\[\Rightarrow \] đpcm