Đề khảo sát kiến thức Toán

[son93]

Trường THPT Yên Dũng 1

Lớp 12A3
​

Môn Toán 12 - Khối A
Thời gian làm bài 150 min

Câu 1: cho hàm số \[y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}\] (1)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b. Tìm tọa độ 2 điểm \[A\] và \[B\] thuộc 2 nhánh của đồ thị để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.
Câu 2:
a. giải phương trình: \[cos^23x+cos3x.sinx+sin^2x=\frac{3}{4}\]
b. Giải hệ phương trình:[Tex]\left {2y^2-x^2=1 \\ 2x^3-y^3 = 2y-x[/Tex]
Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm \[I(1;1);M(-2;2),N(2;-2)\]. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông tâm \[I \]sao cho \[M\] thuộc \[(AB)\], \[N\] thuộc \[(CD)\].
Câu 4: cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA = a, SB = b, SC = c\]. \[\widehat{ASB}=\frac{2\pi}{3},\widehat{ASC}=\frac{\pi}{2},\widehat{BSC}=\frac{\pi}{3}\]
Tính thể tich khối chóp theo \[a, b, c\].
Câu 5: cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình chữ nhật \[AB = a, AD = b. SA\perp(ABCD). SA = a.\]
a. Gọi \[E\] là trung điểm của \[DC\], tính khoảng cách từ \[S\] đến \[BE \]theo\[ a, b\]
b. Gọi \[\alpha, \beta, \gamma\] lần lượt là góc tạo bởi \[(SBD) \]và \[(SBA), (SAD), (ABD)\]. Chứng minh rằng
\[cos\alpha+cos\beta+cos\gamma \leq \sqrt{3}\]
Câu 6: tìm min của hàm số \[y=\sqrt{-x^2+4x+21}-\sqrt{-x^2+3x+10}\]​

 

[lamtrang0708]

post đáp án đi anh sơn

 

[son93]

Trường THPT Yên Dũng 1

Lớp 12A3
​

Môn Toán 12 - Khối A
Thời gian làm bài 150 min

Câu 1: cho hàm số \[y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}\] (1)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1)
b. Tìm tọa độ 2 điểm \[A\] và \[B\] thuộc 2 nhánh của đồ thị để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.
Câu 2:
a. giải phương trình: \[cos^23x+cos3x.sinx+sin^2x=\frac{3}{4}\]
b. Giải hệ phương trình:[Tex]\left {2y^2-x^2=1 \\ 2x^3-y^3 = 2y-x[/Tex]
Câu 3: Trong mặt phẳng Oxy cho các điểm \[I(1;1);M(-2;2),N(2;-2)\]. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông tâm \[I \]sao cho \[M\] thuộc \[(AB)\], \[N\] thuộc \[(CD)\].
Câu 4: cho hình chóp \[S.ABC\] có \[SA = a, SB = b, SC = c\]. \[\widehat{ASB}=\frac{2\pi}{3},\widehat{ASC}=\frac{\pi}{2},\widehat{BSC}=\frac{\pi}{3}\]
Tính thể tich khối chóp theo \[a, b, c\].
Câu 5: cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình chữ nhật \[AB = a, AD = b. SA\perp(ABCD). SA = a.\]
a. Gọi \[E\] là trung điểm của \[DC\], tính khoảng cách từ \[S\] đến \[BE \]theo\[ a, b\]
b. Gọi \[\alpha, \beta, \gamma\] lần lượt là góc tạo bởi \[(SBD) \]và \[(SBA), (SAD), (ABD)\]. Chứng minh rằng
\[cos\alpha+cos\beta+cos\gamma \leq \sqrt{3}\]
Câu 6: tìm min của hàm số \[y=\sqrt{-x^2+4x+21}-\sqrt{-x^2+3x+10}\]​

Đây là bài làm của Sơn trong ngày hôm đó, đề này cũng khá hay, mọi người thử làm rồi cho ý kiến nhé!
Câu 1:
a. Con này khảo sát đồ thị hàm số (biếu điểm - bạn tự làm nhé)
b. \[y=x+1+\frac{1}{x+1}\]
Giả sử 2 điểm \[A(x1;y1), B(x2;y2)\]vì 2 điểm đó nằm ở 2 nhánh khác nhau của đồ thị nên
\[x1=-1+a;x2=-1-b\] với \[a;b>0\].
vậy tọa độ của 2 điểm trên \[A(-1+a;a+\frac{1}{a});B(-1-b;-b-\frac{1}{b})\]
Bình phương khoảng cách \[AB^2=(a+b)^2+(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^2\].
Đến đây áp dụng Caushy cho cái này sẽ được dấu "=" xảy ra khi \[a = b =..\] (mình quên mất kết quả rồi, nó là căn bậc 8! ^_^)
(hướng làm như vậy đấy)
Câu 2:
a. Chọn \[cos3x\] là ẩn rồi giải như giải phương trình bậc 2 (hoặc có thể phân tích ra tích cũng được.)
sẽ có là:
\[cos3x=\frac{-sinx+\sqrt{3}cosx}{2}\]
Hoặc \[cos3x=\frac{-sinx-\sqrt{3}cosx}{2}\]
Đến đây giải phương trình này không khó đúng không!?
b. Thế từ phương trình 1 xuống phương trình 2 được \[2x^3-y^3 = 2y(2y^2-x^2)-(2y^2-x^2)x\]
Đó là phương trình đẳng cấp bậc 3. Đến đây tự giải được rồi.
Câu 3.
Để ý 1 chút thì bài này không cần giải nhiều, nhưng mình làm cho bài toán tổng quát (hướng thôi nhé)
Lấy đối xứng M qua I sẽ có M' thuộc CD, tương tự tìm được N' thuộc AB từ đó lập được phương trình đường thẳng AB và CD. Từ đó sẽ có vécto pháp tuyến của BC và AD, vì I là tâm của HÌnh vuông nên khoảng cách từ I đến AB và BC là như nhau từ đó cũng lập được luôn đường thẳng BC và AD. Giải các hệ phương trình sẽ có tọa độ cần tìm.
Câu 4 (hay nhất)
Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A', B', C' sao cho SA' = SB' = SC' = 1. Dễ dàng tìm được độ dài A'B', B'C', C'A' và chứng minh được Tam giác A'B'C' vuông, từ đó cũng tính được thể tích của khối chóp S.A'B'C' (có các cạnh bên bằng nhau nên chân đường vuông góc từ S xuống đáy là tâm đường tron ngoại tiếp) là \[\frac{1}{6\sqrt{2}}\]. lại có thể tích cả khối chóp lớn gấp \[abc\] lần thể tích khối chóp nhỏ, tính được luôn thể tích cẩn tìm \[\frac{abc}{6\sqrt{2}}\].
Câu 5:
a. có thể tọa độ hóa để làm khá đơn giản. Có thể làm "chay" cũng hay (Dựng AF vuông góc với BE, khoảng cách là đoạn SF). Kết quả không đẹp lắm.
b. Áp dụng trong tứ diện vuông SABD \[cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1\] (chứng minh rất đơn giản!)
Tiếp dùng BNA \[(cos\alpha+cos\beta+cos\gamma)^2 \leq 3(cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma)=3\]
Câu 6 (nhớ không nhầm thì là đề khối D)
câu này cứ dùng đạo hàm là ra. Nhưng Sơn làm sai con này rồi (sai ở trỗ đặt đk mới tức chứ!)
Mọi người xem rồi cho ý kiến nhé!

 

[vien0123]

ng j dau

\