Đề HSG toán 9 chọn lọc

[light_future96]

1.m,n là hai số nguyên dương thỏa mãn \[\sqrt{7}-\frac{m}{2}>0\]
Chứng minh rằng:\[ \sqrt{7}-\frac{m}{n}>\frac{1}{mn}\]
2.Xác định xem tồn tại hay không 1 tam giác với độ dài 2 cạnh góc vuông là số nguyên sao cho đọ dài cạnh góc vuông này là bội của cạnh góc vuông kia
3.Cho m.n là số nguyên dươngnguyeen tố cùng nhay.Chứng minh rằng \[m^3 + mn + n^3\] và \[mn(m+n)\] nguyên tố cùng nhau
4.Tìm min của biểu thức:
\[ t^2(xy+yx+zx) + 2t(x+y+z) \] nếu \[x,y,z,t\] là các số thưvj có giá trị tuyệt đối không lớn hơn 1
5.Cho a,b,c là 3 số d[ng có tổng bằng 12. Chứng minh rằng trong 3 phương trình
\[\left\{\begin{matrix}x^2+ax+b=0 & \\ x^2+bx+c=0 & \\ x^2+cx+a=0 & \end{matrix}\right.\]
có 1 phương trình vô nghiệm
6.Tìm tát cả các nghiệm nguyên của phương trình
\[(x+y+z)^3=9(x^2y+y^2z+z^2x)\]

 

[math2010]

bài 1 và 3 sai đề rồi, lời giải câu 2 đây:
Gọi cạnh góc vuông là a thì cạnh góc vuông kia là k.a ( a và k> 0)
Theo định lí pi-ta-go ta có:
a²+(ka) ²=b²
ta có: a²-2a²k+k²a²< a²+(ka) ² < a²+2a²k+k²a²
(a-ka) ² < a²+(ka) ²< (a+ka) ²
[ a(k-1)] ² < a²+(ka) ²< [ a(k+1)] ²
[ a(k-1)] ² < b²<[ a(k+1)] ² (1)
Từ (1) => [ a(k-1)] ², b², [ a(k+1)] ² là 3 số chính phương liên tiếp

Vì giữa 2 số chính phương[ a(k-1)] ², [ a(k+1)] ² không có số nào ngoài b²
=> b²= (ka)² mà a²+(ka) ²=b²
=> a²=0 ( vô lí)
=> không có tam giác vuông nào thỏa yêu cầu của đề bài

Xong rồi đấy

 

[light_future96]

Em làm cách khác
Gọi như anh math
đến cái chỗ \[a^2+(ak)^2=b^2\]
\[\Rightarrow a^2(1+k^2)=b^2\]
Vì \[b^2\] và\[ a^2 \]là hai số chính phương(do a,b>0)
\[\Rightarrow k^2+1\] cũng là số chính phương
Mà\[ k^2 \]và\[ k^2+1\] là hai số tự nhiên liên tiếp cùng là số chính phương nên một trong hai số bằng 0
Do\[ k^2+1>0 \] nên \[k=0 \Rightarrow a=0\], vô lí
Vậy không có tam giác nào thỏa mãn yêu cầu bài toán