Bài 3:
a) Dễ thấy: \[\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}}\]
\[=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x}\sqrt{x+1}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}\]
\[=\frac{(x+1)-x}{x\sqrt{x+1}+(x+1)\sqrt{x}}=\frac{1}{x\sqrt{x+1}+(x+1)\sqrt{x}}\]
Khi đó:
\[\frac{1}{16\sqrt{17}+17\sqrt{16}}+\frac{1}{17\sqrt{18}+18\sqrt{17}}+....+\frac{1}{x\sqrt{x+1}+(x+1) \sqrt{x}}\]
\[=\frac{1}{\sqrt{16}}-\frac{1}{\sqrt{17}}+\frac{1}{\sqrt{17}}-\frac{1}{\sqrt{18}}+....+\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\]
\[=\frac{1}{\sqrt{16}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\]
Bạn chỉ còn việc giải phương trình:
\[\frac{1}{\sqrt{16}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}=\frac{499}{2012}\]
b) Bạn có thể dùng:
\[x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)\]
\[x^2+y^2=(x+y)^2-2xy\]
Chú ý dữ kiện bài toán cho \[x+y=4\] và điều kiện để tồn tại hai số \[x,y\] là \[S^2=(x+y)^2\geq 4P=4xy\]
Sau đó đưa về bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của tam thức bậc hai đối với \[xy\]
