CMR căn bậc hai của a + căn bậc hai của b + căn bậc hai của c lớn hơn hoặc bằng ab+bc+ca?

[qtuan9]

cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3
CMR căn bậc hai của a + căn bậc hai của b + căn bậc hai của c lớn hơn hoặc bằng ab+bc+ca

 

[hoaluuly92]

Cho 3 số dương \[a,b,c\] thỏa mãn \[a+b+c=3\]
C/m:\[\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\]

 

[hoaluuly92]

Ta có: \[a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\ge 3a \](BĐT Cô-si cho 3 số dương)
Tương tự:\[b^2+\sqrt{b}+\sqrt{b}\ge 3b\];
\[c^2+\sqrt{c}+\sqrt{c}\ge 3c\]
Cộng từng vế 3 BĐT trên,ta được:\[a^2+b^2+c^2+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \ge 3(a+b+c)=(a+b+c)^2\]
\[\Rightarrow 2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\ge(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)\]
\[\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ac\]