CM luôn tìm được 3 đỉnh trong 91 đỉnh của đa giác

[buon9a96]

Bài 1 Cho đa giác đều 91 đỉnh. Mỗi đỉnh của đa giác được tô bởi 1 trong hai màu xanh hoặc đỏ. CM luôn tìm được 3 đỉnh trong 91 đỉnh của đa giác thỏa mãn 3 đỉnh cùng màu và là 3 đỉnh của tam giác cân có ít nhất một góc nhỏ hơn 60 độ.
Bài 2 Trong mặt phẳng cho 19 điểm phân biệt trong đó ko có 3 điểm nào thẳng hàng và nằm trong hình chữ nhật có kích thước ­­­­2.3. CMR trong 19 điểm đã cho có 3 điểm nằm trong hình tròn bán kính 3/4 và tạo thành 1 tam giác có ít nhất 1 góc ko vượt quá 45 độ.
Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A nội tiếp đ­uong tròn tam O. M là một điểm tùy ý thuộc đường tròn khác A,B,C. Goi I là trung điểm của AM và H là hình chiếu cua I trên MC .Tìm vị trí của M sao cho tam giác AHC có S Max.
Bai 4 Cho 53 số nguyên dương phân biệt có tổng ko > 2004. CM rằng luôn tìm được 6 số trong 53 số đã cho thỏa mãn 6 số này chia được thành 3 cặp số mà mỗi cặp đều có tổng là 53.

 

[bomkute1996th]

Bài 1 Cho đa giác đều 91 đỉnh. Mỗi đỉnh của đa giác được tô bởi 1 trong hai màu xanh hoặc đỏ. CM luôn tìm được 3 đỉnh trong 91 đỉnh của đa giác thỏa mãn 3 đỉnh cùng màu

Mik làm thế này:
Do đa giác có 91 đỉnh nên phải tồn tại 2 đỉnh kề nhau là A và B được sơn cùng 1 màu (VD màu xanh)
Vì đa giác đã cho là đa giác đều có 1 số lẻ đỉnh nên phải tồn tại 1 đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.Gọi điểm đó là C.
*Nếu C tô màu xanh thì tam giác ABC cân có 3 đỉnh A,B,C được tô cùng màu đỏ.
*Nếu C tô màu đỏ.Gọi D,E là các đỉnh khác của đa giác kề với A,B.
Nếu cả 2 đỉnh D,E được tô màu đỏ thì tam giác CDE cân và có 3 đỉnh cùng tô màu đỏ
Nếu 1 trong 2 đỉnh D,E mà tô màu xanh thì tam giác ABD hoặc tam giác ABE là các tam giác cân có 3 đỉnh được tô màu xanh.

 

[buon9a96]

Vậy còn tam giác cân này phải có ít nhất 1 góc nhỏ hơn 60 độ thì sao hả bạn ?