CM BĐT

[l99]

Bài 1: CMR: Với \[a, b, c>0\] thì:
\[a^{2004}+b^{2004}+c^{2004}\geq\frac{(b+c)a^{2003}}{2}+\frac{(c+a)b^{2003}}{2}+\frac{(a+b)c^{2003}}{2}\]

Bài 2: Với \[a,b,c\geq 0\]

CMR: \[\sqrt[3]{abc}+1\leq \sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}\]

 

[light_future96]

Bài 1: CMR: Với \[a, b, c>0\] thì:
\[a^{2004}+b^{2004}+c^{2004}\geq\frac{(b+c)a^{2003}}{2}+\frac{(c+a)b^{2003}}{2}+\frac{(a+b)c^{2003}}{2}\]

\[BĐT \Leftrightarrow \frac{(a^{2003})(2a-b-c)}{2}+\frac{(b^{2003})(2b-a-c)}{2}+\frac{(a^{2003})(2c-b-a)}{2}\geq 0\]
\[\Leftrightarrow a^{2003}(a-b)+a^{2003}(a-c)+b^{2003}(b-a)+b^{2003}(b-c)+c^{2003}(c-a)+a^{2003}(c-b)\geq 0\]
\[\Leftrightarrow (a^{2003}-b^{2003})(a-b)+(b^{2003}-c^{2003})(b-c)+(c^{2003}-a^{2003})(c-a)\geq 0(*)\]Ta có \[(a^{2003}-b^{2003})(a-b)=(a-b)^{2}(a^{2002}+a^{2001}+..+a+1)\]
Do \[a>0\Rightarrow (a^{2002}+a^{2001}+..+a+1)\geq 0\]
Mà \[(a-b)^{2}\geq 0\]
\[\Rightarrow (a^{2003}-b^{2003})(a-b)\geq 0\]Tương tự:\[(b^{2003}-c^{2003})(b-c)\geq 0\]
\[(c^{2003}-a^{2003})(c-a)\geq 0\]
\[\Rightarrow (*)\] đúng
\[\Rightarrow\] đpcm