I. Mệnh đề:
Mệnh đề là một câu nói đảm bảo các tính chất: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Mệnh đề chứa biến: Là một câu nói có chứa một giá trị chưa biết (biến) chưa biết rõ tính đúng, sai nhưng với mỗi giá trị của biến thì câu nói đó trở thành mệnh đề.
Kí hiệu các mệnh đề: Kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: \[P, Q, A, B, ....\]
Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề \[P\], mệnh đề phủ định của nó là "Không phải \[P\]" và được kí hiệu là \[\overline{P}\]
Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề "Nếu \[P\] thì \[Q\]" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu \[P \Rightarrow Q\].
Mệnh đề \[P \Rightarrow Q\] chỉ sai khi \[P\] đúng \[Q\] sai.
Khi đó: \[P\] là giả thiết, \[Q\] là kết luận. hoặc \[P\] là điều kiện đủ của \[Q\] hoặc \[Q\] là điều kiện cần để có \[P\].
Mệnh đề đảo: Mệnh đề \[Q \Rightarrow P\] là mệnh đề đảo của \[P \Rightarrow Q\].
Hai mệnh đề tương đương: Hai mệnh đề \[P\] và \[Q\] gọi là tương đương nếu cả \[P \Rightarrow Q\] và \[Q \Rightarrow P\] đều đúng. Khi đó kí hiệu: \[P \Leftrightarrow Q\].
Khi \[P \Leftrightarrow Q\] ta nói: \[P\] tương đương với \[Q\] hoặc \[P\] là điều kiện cần và đủ để có \[Q\] hoặc \[P\] khi và chỉ khi \[Q\].
Kí hiệu \[\forall\] và \[\exists\] : Dùng trong các mệnh đề chứa biến.
II. Tập hợp:
1. Tập hợp:
Tập hợp: là một khái niệm cơ bản của Toán học, không định nghĩa, chỉ có thể nhận biết. Ta thường kí hiệu tập hợp bởi các chữ cái in hoa: \[A, B, C ...\]
Các cách xác định tập hợp:
a. Liệt kê các phần tử: Ví dụ: \[A={ 1, 2, 3, 4, 5}\]
b. Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp: Ví dụ: \[A={n\in N, n\geq 5}\].
Ta thường minh họa tập hợp bởi phần mặt phẳng được bao quanh bởi một đường cong kín, gọi là biểu đồ Ven.
Tập rỗng: Tập hợp không có phần tử nào, kí hiệu: \[\phi \]
Tập con: \[A\] là tập con của \[B\] nếu mọi phần tử của \[A\] cũng là phần tử của B, kí hiệu \[A \subset B\].
Hai tập hợp bằng nhau: Tập hợp \[A\] và tập hợp \[B\] được gọi là bằng nhau nếu \[A\] là tập con của \[B\] và ngược lại.
2. Các phép toán trên tập hợp:
Giao của hai tập hợp: gồm các phần tử chung của hai tập hợp. Kí hiệu \[A \cap B.\]
\[ x\in A\cap B \Leftrightarrow \left { x\in A \\ x\in B \].
Hợp của hai tập hợp: gồm các phần tử nằm trong \[A\] hoặc nằm trong \[B\]. Kí hiệu: \[A\cup B\].
Hiệu của hai tập hợp: gồm các phần tử nằm trong \[A\] mà không nằm trong \[B\]. Kí hiệu \[A\ B\].
Phần bù của tập hợp \[A\] trong \[B\]: gồm các phần tử nằm trong \[B\] mà không nằm trong \[A\] (khi \[A\subset B\]), chính là hiệu \[B\ A\].
III. Các Tập hợp số:
1. Các tập hợp số:
Tập số tự nhiên : \[N\].
Tập số nguyên \[Z\]: Gồm các số tự nhiên và số âm.
Tập số hữu tỉ \[Q\]: gồm các số nguyên và các phân số dạng \[\frac{a}{b}\] trong đó \[a\] và \[b\] là các số nguyên.
Tập số thực \[R\]: Gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.
Tập số phức \[C\]: Gồm các số thực và các số ảo dạng \[a+b.i\] trong đó \[a,b\] là số thực.
2. Các tập con thường gặp của tập số thực:
a) Khoảng:
\[(a;b)={x\in R,\quad a<x<b}\]
\[(a;+\infty )={x\in R, \quad a<x}\]
\[(-\infty ;b)={x\in R,\quad x<b}\].
b) Đoạn:
\[[a;b]={x\in R,\quad a\leq x\leq b}\]
c) Nửa khoảng:
\[[a;b)={x\in R,\quad a\leq x<b}\]
\[(a;b]={x\in R,\quad a<x\leq b}\]
\[[a;+\infty )={x\in R,\quad a\leq x}\]
\[(-\infty ; b]={x\in R,\quad x\leq b}\]
IV. Số gần đúng, sai số:
1. Sai số tuyệt đối: Nếu a là số gần đúng của số đúng \[\overline{a}\] thì \[\Delta _{a}=|\overline{a}-a| \] được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng \[a\].
Sai số tuyệt đối chỉ đại diện cho độ sai lệch của một phép đo (tính toán) so với số đúng.
Độ chính xác của một phép đo (tính toán) là \[d\] nếu \[\Delta _{a}\leq d\] và quy ước \[\overline{a}=a +\limits _{-}\] .
2. Sai số tương đối:
Nếu \[\Delta _{a}\] là sai số tuyệt đối của phép đo (tính toán) thì \[\delta _{a}=\frac{\Delta_{a}}{\overline{a}}\] được gọi là sai số tương đối của phép đo (tính toán) đó. Sai số tương đối thể hiện độ chính xác của một phép đo hơn sai số tuyệt đối.
3. Quy tắc làm tròn số:
Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn \[5\] thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bằng các chữ số \[0\].
Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng \[5\] thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bằng các chữ số \[0\] và chữ số liền bên trái nó cộng thêm một đơn vị.
Mệnh đề là một câu nói đảm bảo các tính chất: Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Mỗi mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
Mệnh đề chứa biến: Là một câu nói có chứa một giá trị chưa biết (biến) chưa biết rõ tính đúng, sai nhưng với mỗi giá trị của biến thì câu nói đó trở thành mệnh đề.
Kí hiệu các mệnh đề: Kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: \[P, Q, A, B, ....\]
Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề \[P\], mệnh đề phủ định của nó là "Không phải \[P\]" và được kí hiệu là \[\overline{P}\]
Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề "Nếu \[P\] thì \[Q\]" được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu \[P \Rightarrow Q\].
Mệnh đề \[P \Rightarrow Q\] chỉ sai khi \[P\] đúng \[Q\] sai.
Khi đó: \[P\] là giả thiết, \[Q\] là kết luận. hoặc \[P\] là điều kiện đủ của \[Q\] hoặc \[Q\] là điều kiện cần để có \[P\].
Mệnh đề đảo: Mệnh đề \[Q \Rightarrow P\] là mệnh đề đảo của \[P \Rightarrow Q\].
Hai mệnh đề tương đương: Hai mệnh đề \[P\] và \[Q\] gọi là tương đương nếu cả \[P \Rightarrow Q\] và \[Q \Rightarrow P\] đều đúng. Khi đó kí hiệu: \[P \Leftrightarrow Q\].
Khi \[P \Leftrightarrow Q\] ta nói: \[P\] tương đương với \[Q\] hoặc \[P\] là điều kiện cần và đủ để có \[Q\] hoặc \[P\] khi và chỉ khi \[Q\].
Kí hiệu \[\forall\] và \[\exists\] : Dùng trong các mệnh đề chứa biến.
II. Tập hợp:
1. Tập hợp:
Tập hợp: là một khái niệm cơ bản của Toán học, không định nghĩa, chỉ có thể nhận biết. Ta thường kí hiệu tập hợp bởi các chữ cái in hoa: \[A, B, C ...\]
Các cách xác định tập hợp:
a. Liệt kê các phần tử: Ví dụ: \[A={ 1, 2, 3, 4, 5}\]
b. Chỉ ra tính chất đặc trưng của các phần tử trong tập hợp: Ví dụ: \[A={n\in N, n\geq 5}\].
Ta thường minh họa tập hợp bởi phần mặt phẳng được bao quanh bởi một đường cong kín, gọi là biểu đồ Ven.
Tập rỗng: Tập hợp không có phần tử nào, kí hiệu: \[\phi \]
Tập con: \[A\] là tập con của \[B\] nếu mọi phần tử của \[A\] cũng là phần tử của B, kí hiệu \[A \subset B\].
Hai tập hợp bằng nhau: Tập hợp \[A\] và tập hợp \[B\] được gọi là bằng nhau nếu \[A\] là tập con của \[B\] và ngược lại.
2. Các phép toán trên tập hợp:
Giao của hai tập hợp: gồm các phần tử chung của hai tập hợp. Kí hiệu \[A \cap B.\]
\[ x\in A\cap B \Leftrightarrow \left { x\in A \\ x\in B \].
Hợp của hai tập hợp: gồm các phần tử nằm trong \[A\] hoặc nằm trong \[B\]. Kí hiệu: \[A\cup B\].
Hiệu của hai tập hợp: gồm các phần tử nằm trong \[A\] mà không nằm trong \[B\]. Kí hiệu \[A\ B\].
Phần bù của tập hợp \[A\] trong \[B\]: gồm các phần tử nằm trong \[B\] mà không nằm trong \[A\] (khi \[A\subset B\]), chính là hiệu \[B\ A\].
III. Các Tập hợp số:
1. Các tập hợp số:
Tập số tự nhiên : \[N\].
Tập số nguyên \[Z\]: Gồm các số tự nhiên và số âm.
Tập số hữu tỉ \[Q\]: gồm các số nguyên và các phân số dạng \[\frac{a}{b}\] trong đó \[a\] và \[b\] là các số nguyên.
Tập số thực \[R\]: Gồm các số hữu tỉ và các số vô tỉ.
Tập số phức \[C\]: Gồm các số thực và các số ảo dạng \[a+b.i\] trong đó \[a,b\] là số thực.
2. Các tập con thường gặp của tập số thực:
a) Khoảng:
\[(a;b)={x\in R,\quad a<x<b}\]
\[(a;+\infty )={x\in R, \quad a<x}\]
\[(-\infty ;b)={x\in R,\quad x<b}\].
b) Đoạn:
\[[a;b]={x\in R,\quad a\leq x\leq b}\]
c) Nửa khoảng:
\[[a;b)={x\in R,\quad a\leq x<b}\]
\[(a;b]={x\in R,\quad a<x\leq b}\]
\[[a;+\infty )={x\in R,\quad a\leq x}\]
\[(-\infty ; b]={x\in R,\quad x\leq b}\]
IV. Số gần đúng, sai số:
1. Sai số tuyệt đối: Nếu a là số gần đúng của số đúng \[\overline{a}\] thì \[\Delta _{a}=|\overline{a}-a| \] được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng \[a\].
Sai số tuyệt đối chỉ đại diện cho độ sai lệch của một phép đo (tính toán) so với số đúng.
Độ chính xác của một phép đo (tính toán) là \[d\] nếu \[\Delta _{a}\leq d\] và quy ước \[\overline{a}=a +\limits _{-}\] .
2. Sai số tương đối:
Nếu \[\Delta _{a}\] là sai số tuyệt đối của phép đo (tính toán) thì \[\delta _{a}=\frac{\Delta_{a}}{\overline{a}}\] được gọi là sai số tương đối của phép đo (tính toán) đó. Sai số tương đối thể hiện độ chính xác của một phép đo hơn sai số tuyệt đối.
3. Quy tắc làm tròn số:
Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ hơn \[5\] thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bằng các chữ số \[0\].
Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng \[5\] thì ta thay nó và các chữ số bên phải nó bằng các chữ số \[0\] và chữ số liền bên trái nó cộng thêm một đơn vị.
