Chào mừng Bạn tham gia Diễn Đàn VNKienThuc.com - Định hướng Forum Kiến Thức
- HÃY TẠO CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC HỮU ÍCH VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN
Kết nối: VNK X - VNK groups | Nhà Tài Trợ: BhnongFood X - Bhnong groups - Đặt mua Bánh Bhnong

Trả lời chủ đề

Nội dung: <blockquote data-quote="chibi maruko" data-source="post: 39416" data-attributes="member: 36797">Bất đẳng thức là một trong những vấn đề hóc búa và thú vị nhất của Toán Học.Chúng ta không thể phủ nhận rằng đã có biết bao nhà Toán Học lỗi lạc đã từng bị cuốn hút trong vòng xoay kỳ diệu của nó.Ngày nay,các vấn đề về bất đẳng thức đã trở nên vô cùng đa dạng.Chúng đang dần trở nên phức tạp,hóc búa và ghồ ghề hơn. Điều nay đòi hỏi chúng ta phải sáng tạo nên những phương pháp ,kỹ thuật mới đề hạ bệ những con quái vật này.Dưới đây chúng tôi xin giới thiệu với các bạn một số phương pháp mới đó. Đây sẽ là công cụ rất hiệu quả giúp các bạn đối mặt với những bất đẳng thức ghồ ghề nhất trong lịch sử những bất đẳng thức ghồ ghề.     Xin cảm ơn anh Trần Tuấn Anh-sinh viên Đại Học KHTN đã truyền đạt cho em nhiều phương pháp độc đáo,cảm ơn các thành viên của Mathlinks.ro đã giúp tôi có nhiều ý tưởng quý báu,cám ơn ban biên tập đã cho phép tôi thực hiện bài viết này.2.Phương pháp chính phương hóa a)     Cho hàm số \[f({a_1},{a_2}, {...} ,{a_n})\] ý tưởng của phương pháp này là đưa \[f({a_1},{a_2}, {...} ,{a_n})\] về dạng \[\sum g(a)(a_{i}-a_{j})^2\] và đánh giá các đại lượng \[g(a)\]. Vấn đề được đặt ra là đưa về như thế nào và đưa về như thế nào.Chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết các vấn đề trên thông qua các ví dụ sau: Ví dụ 1:Cho \[a,b\] là các số thực dương.Chứng minh rằng:\[\frac{a^2}{b}+ \frac{b^2}{a} + {7(a + b)}\] \[\geq 8 \sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\]Giải:Bất đẳng thức đã cho tương đương với:\[(a-b)^{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) -\frac{8}{\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}+a+b}) \geq 0\]Rõ ràng ta có thể chứng minh biểu thức bên trong ngoặc là không âm bằng BĐT Cauchy.Như vậy là một phần nào ta thấy được sự hữu ích của việc đưa bất đẳng thức về dạng bình phương hiệu. Điều này vừa giúp ta lọai đi được dấu bằng, vừa giúp ta tìm được các dấu bằng mới nếu có, hay sẽ đi tới một bất đẳng thức được đánh giá không chặt và việc chứng minh là dễ dàng.Còn vì sao lại đưa về dược dạng trên, ở đây chúng ta đã sử dụng hai biến đổi sau\[\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a} -a-b\]\[=\frac{a^3+b^3-a^2b-b^2a}{ab} =\frac{(a-b)^2(a+b)}{ab}\] \[\sqrt{2(a^2+b^2)}- a - b = \frac{2(a^2+b^2)-(a+b)^2}{\sqrt{2(a^2+b^2)}+a+b}\]\[\frac{(a-b)^2}{{a+b}+ \sqrt{2(a^2+b^2)}}\] Nhận xét rằng các biểu thức trừ cho nhau là sản phẩm đánh giá thông qua bât đẳng thức Cauchy, vì vậy đại lượng bình phương hiệu chắc chắn sẽ xuất hiện. Ví dụ 2:Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa điều kiện \[a+b+c=1\].Chứng minh rằng:\[4(a^3+b^3+c^3-3abc) \geq 3(a^2+b^2-2ab)\] Giải:Bất đẳng thức đã cho là tương đương với:\[2(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2] \geq 3(a-b)^2\]\[\Leftrightarrow 2(b-c)^2+2(c-a)^2 \geq (a-b)^2\]\[\Leftrightarrow (a+b-2c)^2 \geq 0\]Như vậy ngòai cái nhìn sơ khai về dấu bằng \[a = b = c\], ta còn phát hiện ra một dấu bằng nữa là \[a+b=2c\] . Đồng thời ở trên ta đã sử dụng hai đẳng thức, đều là sản phẩm đánh giá của bất đẳng thức Cauchy:\[a^3+b^3+c^3-3abc =\frac {(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]}{2}\]\[a^2+b^2-2ab = (a-b)^2\]  Ví dụ 3:Cho \[x,y,z\] là các số thực thoả mãn các điều kiện sau:\[y^2 \geq xz, x \geq y \geq z \geq 0\].Chứng minh rằng:\[\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y} \geq 2(x^2+y^2+z^2)-xy-yz-zx\] Đây có thể xem như bài áp dụng.Các bạn giải thử nhé.( hi hi, khó mới để làm áp dụng chớ J)b/     Như vậy chúng ta cũng đã thấy được phần nào sự hiệu quả của phương pháp trên.Thế nhưng một điều may mắn mà chúng ta đã gặp ở trên là các biểu thức \[g(a)\]  đều không âm. Định lý dưới đây sẽ góp phần tăng tính hiệu quả của phương pháp trên trong các trường hợp ngoài ý muốn.</blockquote>

Tên

Mã xác nhận