Chứng Minh-

[vipboy_2010]

bài 1: Cho a,b,c dương
Đặt: x = ( a+b+c)^2 - 8ab
y = (a+b+c)^2 - 8bc
z = ( a+b+c)^2 - 8ac
Chứng tỏ trong ba số x , y , z có ít nhất một số dương

bài 2: Cho biết x , y ,z dương thỏa:
xyz = 1 và x + y + z > 1/x + 1/y + 1/z
Chứng tỏ rằng 3 số x , y, z có một và chỉ một số lớn hơn 1

 

[PhuQui784]

Mình thử làm nha:
\[x = (a + b + c)^{2} - 8ab\]
\[= a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2ac + 2bc - 8ab\]
\[= a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6ab + 2ac + 2bc\]
Ta có:
\[a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ac + 2bc \geq 0\]
mà ta cũng có \[a^{2} + b^{2} - 6ab \geq 0\]
=> \[a^{2} + b^{2} + c^{2} - 6ab + 2ac + 2bc \geq 0\]
=> \[x = (a + b + c)^{2} - 8ab\] là biểu thức dương
=> x là số dương
Tương tự ta làm y và z

 

[stupidboy]

Mình xin giải thử
1/ Xét tổng
x + y + z = 3(a + b + c)^2 - 8(ab + bc + ac)
= 2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + bc + ac) + (a^2 + b^2 + c^2)
= (a - b)^2 + (b - c)^2 + (a - c)^2 + (a^2 + b^2 + c^2) > 0
=> ít nhất 1 trong 3 số x,y,z lớn hơn 0
2/
Vai trò của x,y,z là như nhau nên không mất tổng quát, giả sử x>y>z>0
Ta có x+y+z>1/x+1/y+1/z
<=> x+y+z-xy-yz-xz > 0
<=> x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) > 0 (1)
Từ (1) dẫn đến 1 trong 3 trường hợp
i) Cả ba số trên dương, tức là x>1,y>1,z>1. Điều này vô lý.
ii) Xét 2 trường hợp :
a) y(1-z) > 0 và z(1-x) > 0
=> z<1 và x<1
=> 1>z>x => 1>z>y>x => xyz < 1 trái gt.
b) x(1-y) > 0 và z(1-x)
=> y<1 và x<1
=> 1>y>x => 1>z>y>x => xyz < 1 ...
vậy chỉ còn trường hợp x<1.
iii) Trường hợp này ko cần nói bạn cũng bít nhỉ