Chứng mình trong tam giác..

[light_future96]

Cho \[\Delta\] ABC có 3 cạnh thỏa mãn a+b+c=6. Chứng minh:
\[54>3\left({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2} \right)+2abc\geq 52\]

 

[bomkute1996th]

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác nên a<b+c

=>2a<a+b+c=>2a<6=>a<3
tương tự:b<3;c<3
Ta có3-a)(3-b)(3-c)>0
\[
\Leftrightarrow (9-3a-3b+ab)(3-c)>0\]
Biến đổi tương đương cuối cùng ta có:
\[-54+3.3c>3({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})+2abc\]
Áp dụng Cô si :\[a+b+c\geq 3.\sqrt[3]{abc}

\Leftrightarrow 6\geq \sqrt[3]{abc}
\Leftrightarrow abc\leq 8
\Leftrightarrow 52=-2abc\geq 36\]
Ta cần chứng minh:\[3({a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})+2abc\geq 52\]
Sau đó áp dụng Bunhiacopxki là ra