Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác \[M\] là điểm bất kì nằm trong không gian
Chứng minh rằng:
1. \[MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\]
2. Tìm quĩ tích các điểm \[M\] sao cho \[MA^2+MB^2+MC^2=K2\] (trong đó bik K là một số ko đổi))))))))
các bạn giải giúp nhé??????:big_smile::cold:
Hình vẽ tham khảo:
(thực ra bài toán này có thể không cần vẽ hình)
\[1.\] Ta luôn có:
\[\vec{MA}=\vec{MG}+\vec{GA}\]
\[\Leftrightarrow \vec{MA}^2=(\vec{MG}+\vec{GA})^2\]
\[\Leftrightarrow MA^2=MG^2+GA^2+2\vec{MA}.\vec{AG}\qquad (1)\]
Tương tự ta có:
\[MB^2=MG^2+GB^2+2\vec{MB}.\vec{BG}\qquad (2)\]
\[MC^2=MG^2+GC^2+2\vec{MC}.\vec{CG}\qquad (3)\]
Cộng vế với vế ba đẳng thức ta có:
\[MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2+2\vec{MG}(\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC})\]
Do \[G\] là trọng tâm tam giác \[ABC\] nên \[\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=\vec{0}\]
nên:
\[MA^2+MB^2+MC^2=3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2\]
2. Áp dụng kết quả của phàn trên ta có:
\[3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2=K^2\]
\[\Rightarrow MG^2=\frac{K^2-(GA^2+GB^2+GC^2)}{3}\]
Nếu \[K^2<GA^2+GB^2+GC^2\] thì không tồn tại điểm M
Nếu \[K^2=GA^2+GB^2+GC^2\] thì \[M\] trùng với \[G\]
Nếu \[K^2>GA^2+GB^2+GC^2\] thì quỹ tích điểm \[M\] là mặt cầu tâm \[G\] bán kính \[R=\sqrt{\frac{K^2-(GA^2+GB^2+GC^2)}{3}}\].
