Chứng minh rằng QR luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đoạn thẳng AB?

[tuanvydola]

Trên đường thẳng d ta lấy các điểm A,M,B (M nằm giữa A và B ).Trên cùng một nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB ta dựng các hình vuông AMPQ và BMSR.
a) Cm: AS vuông góc với PB
b) Kéo dài AS cắt PB tại I . Chứng minh 3 điểm Q,I,R thẳng hàng
c) chứng minh rằng QR luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên đoạn thẳng AB


Ai giúp đc mình thank liền :haha:

 

[linhngox97]

Toán lớp mấy đây bạn?

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu a.
Xét tam giác SBA, ta có \[SM \perp AB\], \[AP \perp BS\] (Vì \[AP \perp QM\] và \[BS//QM\]).

Vì SM và AP đều là đường cao của tam giác ASB nên BP cũng là đường cao ứng với AS. Suy ra \[BP \perp AS\].


Câu b.
Gọi O là giao điểm của BS và MR. Do \[\hat{BIS}=90^{\circ} \] (Theo câu a) nên \[OI=\frac{BS}{2}\], do đó \[OI=\frac{MR}{2}\].

Tam giác MIR có đường trung tuyến IO bằng một nửa MR, vì vậy tam giác MIR phải là tam giác vuông tại I nên \[\hat{MIR}=90^{\circ} (1)\].

Chứng minh tương tự như trên đối với tam giác MIQ, ta có: \[\hat{MIQ}=90^{\circ} (2)\]

Từ (1) và (2) suy ra ba điểm Q, I, R thẳng hàng.


Câu c.
Gọi K là giao điểm của QR và BS. Xét tam giác RMQ, ta có OM = OR, OK // QM (Vì BS // QM) nên K là trung điểm của QR (Tính chất đường trung bình của tam giác).

Kẻ \[KK' \perp AB\] (K' thuộc đoạn AB) thì K' là trung điểm AB (Tính chất đường trung bình của hình thang) nên

\[KK'=\frac{BR+AQ}{2}=\frac{MB+MA}{2}=\frac{AB}{2}\]

Do đó K là điểm cố định : Vì K nằm trên đường trung trực của AB và cách AB một khoảng bằng \[\frac{AB}{2}\].
Vậy đường thẳng QR luôn đi qua một điểm cố định là K.

 

[linhngox97]

a, Xét tam giác ISP, có
ISP + IPS (gọi là P1) = 90 độ (1)
Xét tam giác AMS, có
MAS + MSA = 90 độ (2)
Từ (1) và (2) => MAS = IPS
Mà IPS = MPB (đối đỉnh)
=> MAS = MPB (3)
Xét tam giác MBP, có
MBP + MPB = 90 độ (4)
Từ (3) và (4) => MAS + MBP = 90 độ
Tam giác ABI có MAS + MBP = 90 độ
=> tam giác ABI vuông tại I
=> I = 90 độ
Vậy AS vuông góc với BP

Tớ chỉ làm được phần a thôi mà chả bít có đúng ko. Cậu xem kĩ nhé.....

 

[linhngox97]

b, Có PIS = 90 độ (kề bù với góc I)
=> BIF + RIS = 90 độ
mà AIQ = RIS (đối đỉnh)
=> AIQ + BIF = 90 độ
QIR = AIQ + BIR + AIB
=> QIR= 90 + 90
=> QIR = 180 độ
Vậy Q, I, R thẳng hàng