Chứng minh phân số tối giản

[Kanji_9x]

Ca'c ban ju'p to' ba`i na`y nhe', thanks nhi`u !

Ba`i 1. CMR ca'c pha^n so' sau luon to'i gia?n vs moi n:

a/ (n^3+2n)/(n^4+3n^2+1)

b/ (2n+1)/(2n^2-1)

 

[Hình Bóng Của Mây]

Câu a. Để phân số tối giản thì tử số (n³ + 2n) và mẫu số (n⁴ + 3n² + 1) phải là các số nguyên tố cùng nhau.

Gọi (n³ + 2n, n⁴ + 3n² + 1) = d (d ∈ N).

Ta có:

n³ + 2n⋮d ⇔ n(n² + 2)⋮d. [1]

n⁴ + 3n² + 1⋮d. [2]

n(n³ + 2n) - (n⁴ + 3n² + 1)⋮d ⇔ -(n² + 1)⋮d, tức (n² + 1)⋮d.

Suy ra,

[1] ⇔ n(n² + 2) = n(n² + 1) + n⋮d ⇔ n⋮d.

[2] ⇔ n⁴ + 3n² + 1 = n²(n² + 3) + 1⋮d ⇔ 1⋮d.

Vậy, d = 1. Từ đây suy ra điều phải chứng minh.



Câu b. Để phân số tối giản thì tử số (2n + 1) và mẫu số (2n² - 1) phải là các số nguyên tố cùng nhau.

Gọi (2n + 1, 2n² - 1) = d (d ∈ N).

Ta có:

n(2n + 1) - (2n² - 1) = n + 1⋮d.

Xét, 2n + 1⋮d ⇔ (n + 1) + n⋮d ⇔ n⋮d.

Từ đây suy ra d ∈ ƯC(n, n + 1), mà n và n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Thật vậy, giả sử gọi (n, n + 1) = k (k ∈ N), ta có:

n - (n + 1)⋮k ⇔ -1⋮k ⇔ 1⋮k. Suy ra, k = 1.

Vậy, (n, n + 1) = d = 1. Từ đây suy ra điều phải chứng minh.