Chứng minh AB, OE, CF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường?

[hovankhoa]

Cho đoạn thẳng OE = 4cm.Vẽ hai đường tròn tâm O bán kính 3 cm và tâm E bán kính 3cm cắt nhau tại hai điểm A và B.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là OE vẽ hai bán kính OC và ED song song với nhau( C khác A, C khác B).Gọi F là điểm đối xứng của D qua E.
A, Chứng minh AB, OE, CF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
B, Chứng minh A là trực tâm của tam giác BCD
C, Xác định vị trí của C để diện tích tứ giác OCDE là lớn nhất và tìm diện tích lớn nhất đó.

 

[light_future96]

Cho đoạn thẳng OE = 4cm.Vẽ hai đường tròn tâm O bán kính 3 cm và tâm E bán kính 3cm cắt nhau tại hai điểm A và B.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là OE vẽ hai bán kính OC và ED song song với nhau( C khác A, C khác B).Gọi F là điểm đối xứng của D qua E.
A, Chứng minh AB, OE, CF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
.

1.Vì OA=OB=ED=EB(=3cm) nên tứ giác ADEB là hình thoi
\[\Rightarrow\] OE và AB cắt nhau tại trung điểm K của mối đường(1)
Vì F đối xứng với D qua E nên F\[\epsilon\] (E)
\[\Rightarrow OC\parallel EF\]
Gọi I là giao điểm của CF và OE
\[\Delta\] CFD có E là trung điểm của DF
\[EI \parallel CD\]
\[\Rightarrow\] I là trung điểm của CF
\[\Rightarrow\] IE là đường trung bình của \Delta CFI
\[\Rightarrow\]\[ EI=\frac{1}{2}CD\]
MÀ CD =OE( dễ chứng minh tứ giác OEDC là hình bình hành)
\[\Rightarrow IE=\frac{1}{2}OE\]
\[\Rightarrow\] I là trung điểm của OE
\[\Rightarrow I\equiv K(2)\]
Từ (1) và (2) ĐPCM

 

[light_future96]

Cho đoạn thẳng OE = 4cm.Vẽ hai đường tròn tâm O bán kính 3 cm và tâm E bán kính 3cm cắt nhau tại hai điểm A và B.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là OE vẽ hai bán kính OC và ED song song với nhau( C khác A, C khác B).Gọi F là điểm đối xứng của D qua E.
A, Chứng minh AB, OE, CF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
B, Chứng minh A là trực tâm của tam giác BCD
C, Xác định vị trí của C để diện tích tứ giác OCDE là lớn nhất và tìm diện tích lớn nhất đó.

Vì Tứ giác AOEB là hình thoi nên AB\perp OE
MÀ \[OE\parallel CD \Rightarrow AB\perp CD(3)\]
Tứ giác CAFB có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên Tứ giác CAFB là hình bình hành
\[\Rightarrow CA\parallel BF\]
Mà \[BF\perp BD\](do DF là đường kính của (E))
\[\Rightarrow CA\perp BD(4)\]
Từ (3) và (4) \[\Rightarrow\] A là trực tâm của \Delta BCD

 

[light_future96]

Cho đoạn thẳng OE = 4cm.Vẽ hai đường tròn tâm O bán kính 3 cm và tâm E bán kính 3cm cắt nhau tại hai điểm A và B.Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là OE vẽ hai bán kính OC và ED song song với nhau( C khác A, C khác B).Gọi F là điểm đối xứng của D qua E.

C, Xác định vị trí của C để diện tích tứ giác OCDE là lớn nhất và tìm diện tích lớn nhất đó.

Từ D kẻ\[ DH\perp OE\]
Ta có\[ {S}_{OCDE}=\frac{1}{2}CH.OE\leq \frac{1}{2}OE.ED\](qh đường xiên và hình chiếu)
\[\Rightarrow {S}_{OCDE}\leq \frac{1}{2}OE.ED=\frac{1}{2}4.3=6\]
vậy\[ max\frac{S}_{OCDE}=6\Leftrightarrow\]\[ K \equiv E\Leftrightarrow DE\perp EO\] và \[CO\perp EO\]

 

[hoanngocbao1997]

giup zdoi
cho 0<a1<a2<a3<a4<a5<â6<a7<a8<a9
chung minh
a1+a2+...a9/a3+â6+a9<3
giup tui nhe

 

[bomkute1996th]

giup zdoi
cho 0<a1<a2<a3<a4<a5<â6<a7<a8<a9
chung minh
a1+a2+...a9/a3+â6+a9<3
giup tui nhe

Ta có: \[{a}_{1}<{a}_{2}<{a}_{3}\Rightarrow {a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}<3{a}_{3}\]

Tương tự:

\[{a}_{4}+{a}_{5}+{a}_{6}< 3{a}_{6}\]

\[{a}_{7}+{a}_{8}+{a}_{9}<3{a}_{9}\]

\[\Rightarrow \frac{{a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+...+{a}_{8}+{a}_{9}}{{a}_{3}+{a}_{6}+{a}_{9}}<3\]