Chứng minh 3 điểm I,J,M thẳng hàng

[dinhngocbich96]

Cho tam giác ABC có góc A=60độ, AB=c, AC=b(b>c). Đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông góc với BC tại M, gọi I,J là chân đường vuông góc hạ từ E xuống các đường thẳng AB, AC; H,K là chân đường vuông góc hạ từ F xuống các đường thẳng AB, AC.
a)Cm các tứ giác : AIEJ; CMJE nội tiếp(mình làm câu này rồi)
b)Cm: I,J,M thẳng hàng và IJ vuông góc với HK.
c) Tính độ dài BC và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo b,c
D) Tính IH + JK theo b,c.:45::2:

 

[bomkute1996th]

b.*Tứ giác CMJE nội tiếp \[\Rightarrow \hat{MCE}+\hat{MJE}={180}^{0}\]

Tứ giác AỊE nội tiếp \[\Rightarrow \hat{IJE}=\hat{MCE}\]

MÀ\[\hat{IAE}=\hat{MCE}\] (cùng bù với \[\hat{BAE}\])

\[\Rightarrow \hat{MCE}+\hat{EJM}={180}^{0}\]

\[\Rightarrow \] I,J,M thẳng hàng (đường thẳng Sim-sơn)

Tương tự: H,M,K thẳng hàng.

*Tứ giác CMJE nội tiếp nên\[\hat{CJM}=\hat{CEF}\]

Mà \[\hat{CEF}=\hat{CAF}\]

\[\Rightarrow \hat{CJM}=\hat{CAF}\]

\[\Rightarrow JM // AF\]

EF là trục đối xứng của (O) nên cung FB =cung FC

\[\Rightarrow \hat{FAB} =\hat{FAC}\]

Dễ chứng minh:\[\Delta HAF=\Delta KAF\] (cạnh huyền-góc nhọn)

\[\Rightarrow AH=AK\]

\[\Rightarrow \] AF vuông góc với HK.

MÀ JM//AF nên JM vuông góc với HK.

 

[bomkute1996th]

c.Kẻ BN vuông góc với AC

Ta có:BN=AB.sinA=\[\frac{c\sqrt{3}}{2}\]

AN=AB.cosA=\[\frac{c}{2}\]

CN=AC-An=b-\[\frac{c}{2}\]

Áp dụng định lí Pi-ta-go cho \[\Delta \] BNC vuông ta có:

\[{BC}^{2}={BN}^{2}+{CN}^{2}=\frac{3{c}^{2}}{4}+{b}^{2}-bc+\frac{{c}^{2}}{4}\]

\[\Rightarrow BC =\sqrt{{b}^{2}-bc+{c}^{2}}\]

\[\Delta BEC\] đều có EM vuông góc với BC nên EM= MC.tg\[{60}^{0}\]= \[\frac{1}{2}.BC.\sqrt{3}\]

Mà OE=\[\frac{2}{3}\] nên R=OE=\[\frac{2}{3}.\frac{1}{2}.BC.\sqrt{3}= \frac{\sqrt{3}}{3}.\sqrt{{b}^{2}-bc+{c}^{2}}\]

d.Gọi giao điểm của FK với (O) là Q.

Tứ giác EKEJKQ là hình chữ nhật nên JK=EQ.

Tứ giác FMKC nội tiếp nên \[\hat{EFK}=\hat{MCK}\] hay \[\hat{MFQ}=\hat{ACB}\]

\[\Rightarrow \] cung EQ=cung AB.

\[\Rightarrow \] JK=AB.

Tương tự:IH=AC.

Vậy IH+JK= AB+AC=b+c.