Cho em hỏi bài này khó quá~!

[toiyeuptnk]

Chứng minh rằng với x,y là hai số dương thì:
\frac{1}{{(1+x)}^{2}}+ \frac{1}{{(1+y)}^{2}}\geq \frac{1}{(1+xy)}
Giúp em với nha!

 

[coconvuive12]

Viết lại đề cái:\[\frac{1}{{(1+x)}^{2}}+ \frac{1}{{(1+y)}^{2}}\geq \frac{1}{(1+xy)}\]

 

[coconvuive12]

Ta có \[\frac{1}{{(1+x)}^{2}}+ \frac{1}{{(1+y)}^{2}} \geq \frac{2}{(1+x)(1+y)}\](cái này là cô si nhé)
suy ra dpcm tg đương với:\[(1+x)(1+y)\leq 2(1+xy)\](chia cả 2 vế cho 1 BDT đổi chiều)
suy ra \[1+x+y+xy\leq 2+2xy\]
tg đuơng với:\[x+y\leq1+xy\](luôn đúng)
suy ra DPCM đúng.Cái BDT cuối cùng mình ko nhớ rõ là làm thế nào, chỉ biết là đúng thui.Nhờ các cao thủ khác làm giúp cái.

 

[emtrongmattoi]

Bất đẳng thức cuối của bạn ko đúng. (Cho \[x=2,y=0,5\])
Bài trên có thể dùng biến đổi tương đương (quy đồng nhân chéo) rồi đưa về:
\[x^3y+xy^3+1 \geq x^2y^2+ 2xy\]
Mà cái này thì đúng do: \[x^3y+xy^3 \geq 2x^2y^2\]
\[x^3y+xy^3+1+1 \geq 4xy\]
(AM-GM)
Cộng vế ta có đpcm.

 

[toiyeuptnk]

hì hì.Cảm ơn mọi người nhiều nha!