đặt \[A = (1-a)(1-b)(1-c) + \frac{a}{1+b+c} + \frac{b}{1+a+c} + \frac{c}{1+a+b}\]
áp dụng BDT co-si cho 3 số dương b+c+1 , 1-b , 1-c
ta có : \[(b+c+1)(1-b)(1-c) \leq (\frac{b+c+1+1-b+1-c}{3})^3 = 1 \]
\[=> (1-b)(1-c) \leq \frac{1}{1+b+c} \]
hay \[(1-a)(1-b)(1-c) \leq \frac{1-a}{1+b+c}\]
nên : \[(1-a)(1-b)(1-c) + \frac{a}{1+b+c} \leq \frac{1}{1+b+c}\]
do đó :\[ A \leq \frac{1}{1+b+c} + \frac{b}{1+a+c} + \frac{c}{1+a+b} (1) \]
Gỉa sử \[a \geq b \geq c \]
nên \[\frac{b}{1+a+c} \leq \frac{b}{1+b+c} (2) \]
\[\frac{c}{1+a+b} \leq \frac{c}{1+c +b} (3) \]
từ \[(1) (2) (3) \] ta suy ra : \[A \leq \frac{1}{1+b+c} + \frac{b}{1+b+c} + \frac{c}{1+c+b} = 1 \]