Các bài toán hay_ posted by henret

[henret]

1) Tìm số nguyên tố \[p\] để \[5p +1\] cũng là lập phương của 1 số tự nhiên

2) Tìm min và max của biểu thức S=2x+y^5 biết \[x^2 +y^2=1\] (\[x,y\] thuộc \[R\])

3) Cho 2 số \[x,y\] thuộc \[R\] thỏa: \[x^3+2y^2+3=4y\] và \[x^2+x^2.y^2=2y\]

Tính \[P=xy\]

4) Cho \[a,b\] là thuộc \[N\]. Chứng minh nếu \[ab\] là số chẵn thì luôn tìm được số nguyên \[c\] sao cho:

\[A=a^2+b^2+c^2\] là số chính phương

5) Cho tam giác \[ABC\], chứng minh:

\[\sin\frac{A}{2}\sin{B}{2}\sin\frac{C}{2}\leq\frac{1}{8}\]


(Trích đè thi học sinh giỏi Quảng Ngãi)

GOOD LUCK!:haha:

 

[Pully]

1) Tìm số nguyên tố \[p\] để \[5p +1\] cũng là lập phương của 1 số tự nhiên

Mình xơi bài này trước nhé :26:

Đặt \[5p+1=x^3\] (với \[x \in N*\])

Khi này \[x^3\] chia 5 dư 1 \[\Rightarrow x\] chia 5 dư 1

Đặt \[x=5k+1\] (với \[k \in N*\])

Ta sẽ có: \[5p+1=125k^3+75k^2+15k+1\]

\[\Leftrightarrow p=k(25k^2+15k+3)\]

Vì \[p\] là số nguyên tố nên \[k=1\] (do \[25k^2+15k+3 \geq 43\])

\[\Rightarrow p=43\]

Thử lại đúng.

Vậy \[p=43\].

 

[Pully]

2) Tìm min và max của biểu thức \[S=2x+5y\] biết \[x^2 +y^2=1\] (\[x,y\] thuộc \[R\])

Chơi luôn bài 2 nhé, hi hi

Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có:

\[(2x+5y)^2 \leq (2^2+5^2)(x^2+y^2)=29\]

\[\Rightarrow -\sqrt{29} \leq 2x+5y \leq \sqrt{29}\]

Dấu "=" làm biếng ghi ra quá à, mình nói kết quả nhé !

Min là \[-\sqrt{29}\] khi \[x=-\frac{2}{\sqrt{29}}\] và \[y=-\frac{5}{\sqrt{29}}\]

Max là \[\sqrt{29}\] khi \[x=\frac{2}{\sqrt{29}}\] và \[y=\frac{5}{\sqrt{29}}\]

 

[Pully]

5) Cho tam giác \[ABC\], chứng minh:

\[\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \leq \frac{1}{8}\]

(đề là \[\sin\frac{B}{2}\] phải không nhỉ !)

Khuya òi, lụm bài hình cho nó lành :47:

Kẻ phân giác BD của góc B. H, K lần lượt là hình chiếu của A, C trên BD.

Đặt AB=c, AC=b, BC=a.

\[\sin \frac{B}{2}=\frac{AH}{AB}=\frac{CK}{BC}=\frac{AH+CK}{AB+BC} \leq \frac{AD+CD}{AB+BC}=\frac{b}{a+c} \leq \frac{b}{2\sqrt{ac}}\]

Tương tự ta có \[\sin\frac{C}{2} \leq \frac{c}{2\sqrt{ab}}\] và \[\sin\frac{A}{2} \leq \frac{a}{2\sqrt{bc}}\]

\[\Rightarrow \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} \leq \frac{b}{2\sqrt{ac}}.\frac{c}{2\sqrt{ab}}.\frac{a}{2\sqrt{bc}}=\frac{abc}{8abc}=\frac{1}{8}\]

^^!

 

[Pully]

3) Cho 2 số \[x,y\] thuộc \[R\] thỏa: \[x^3+2y^2+3=4y\] và \[x^2+x^2.y^2=2y\]

Tính \[P=xy\]

Mình xin ^^

\[x^3+2y^2+3=4y \Leftrightarrow 2y^2-4y+(x^3+3)=0\]

pt có nghiệm y thì \[\Delta' =4-2(x^3+3) \geq 0 \Leftrightarrow x^3 \leq -1 \Leftrightarrow x \leq -1\]

\[x^2+x^2 y^2=2y \Leftrightarrow x^2 y^2-2y+x^2=0\]

pt có nghiệm y thì \[\Delta' =1-x^4 \geq 0 \Leftrightarrow x^4 \leq 1 \Leftrightarrow 1 \geq x \geq -1\]

Kết hợp 2 điều kiện suy ra \[x=-1\].

Thế vào 1 trong 2 pt ta tính được \[y=1\].

Vậy \[P=xy=-1\].

 

[henret]

Cho tớ sửa đề bài 2

 

[henret]

Bài 4 tớ để 3 ngày nữa nhé!

 

[henret]

Pully, bạn xuất sắc lắm!